8 Parakompaktheit und Partitionen der Eins

Question 1

(S) Existenz glatter Partion der Eins

Answer 1

1. (S) Existenz glatter Partition der Eins
   M parakompakt => Existenz einer Partition der Eins
   If M is a paracompact smooth manifold and (Uj)j∈J is a locally finite open cover of M, then there exists an associated smooth partition of unity on M.
2. parakompakter topologischer Raum
   = Jede offene Überdeckung von X hat lokal endliche Verfeinerung.
   –
   Verfeinerung: (Ui)i∈I, (Vj)j∈J offene Überdeckungen von X. (Vj)j∈J Verfeinerung von (Ui)i∈I, wenn für alle j∈J solche ij∈I existiert mit Vj ⊆ Uij.
   –
   lokal endlich: Familie (Si)i∈I von Teilmengen von X lokal endlich, wenn jeder Punkt p∈X Umgebung V hat, die nur endlich viele Si schneidet.
3. Partition der Eins
   Glatte Partition der Eins auf einer Mgf ist eine Familie glatter reellerwertiger Funktionen, die nicht-negativ sind, lokal endlich und eine Partition der Eins bilden.
   –
   Familie (ψi)i∈I, ψi ∈ C∞(M, R) mit
   (P1) ψi ≥ 0 für alle i∈I.
   (P2) lokal endlich: Jeder Punkt p∈M hat Umgebung U, sodass {i∈I : ψi|U ≠ 0} endlich.
   (P3) ∑i ψi = 1.