4 Vektorfelder

Question 1

4.1 Vektorfelder als Derivationen

Bijektion zwischen Vektorfelder und Lie-Ableitungen

Answer 1

1. Isomorphie zwischen Vektorfelder und Lie-Ableitungen
   Die Abbildung V(M) → der(C∞(M)), X → LX mit LX(f) = df ◦ X,
   ist Bijektion.
2. Vektorfeld auf M
   Glatte Abbildung X : M → TM mit πTM ◦ X = idM.
   = glatter Schnitt des Tangentialbündels TM
   - V(M) Raum der Vektorfelder auf M.
   –
   πTM : TM → M, Tp(M) → p kanonische Projektion.

3. Lie-Ableitung
X induziert Lie-Ableitung
LX : C∞(M) → C∞(M), f → LX f = df ◦ X,
mit df : TM → R.
(kürzer: Xf := LXf)
--
X: M → TM Vektorfeld.

Question 2

4.2 Die Lie-Algebra der Vektorfelder

(L) φ-verwandte Vektorfelder und Lie-Klammern
“Related Vector Field Lemma”

(L) φ-verwandt und Lie-Ableitungen, Pullback

Answer 2

1. φ-verwandte Vektorfelder und Lie-Klammern
   Wenn X′ φ-verwandt zu X und Y′ φ-verwandt zu Y, dann Lie-Klammer [X′, Y′] φ-verwandt zu [X, Y].
   –
   M, N glatte Mannigfaltigkeiten, φ : M → N glatte Abbildung, X,Y ∈ V(N), X′,Y′ ∈ V(M) Vektorfelder.
2. (L) φ-verwandte Vektorfelder und Pullback
   Die Vektorfelder heißen φ-verwandt genau dann, wenn auf C∞(M) gilt LX′ ◦ φ∗ = φ∗ ◦ LX.
   –
   φ∗ : C∞(N) → C∞(M), f → f ◦ φ Pullback.
3. φ-verwandte Vektorfelder
   Die Vektorfelder heißen φ-verwandt, wenn
   X ◦ φ = Tφ ◦ X′ : M → TN.
   (Diagamm kommutiert)
   –
   φ: M → N glatte Abbildung, X′ ∈ V(M), X ∈ V(N) Vektorfelder.

Question 3

φ-Basisvektorfeld auf U⊆M

“Basis”, Lie-Klammer

Answer 3

Xj^φ : U → ?TU,
Xj^φ(p) := Tp(φ)^−1 ej := ∂/∂φj (p) := ∂/∂φj |p
–
(φ,U) Karten von M, φ1,…,φn : U → R Koord.funktionen, j = 1, …, n, e1, …, en kan. Basis von R^n
–
“Basis”, da (X1^φ(p), …, Xn^φ(p)) Basis von Tp(M) und jedes VF X ∈ V(U) kann durch Xj^φ ausgedrückt werden:
X= ∑ aj Xj^φ (aj∈C∞(U))
–
Lie-Klammer verschwindet, da Basisvektorfelder φ-verwandt mit konstanten VF auf R^n (Related Vector Field Lemma)

Question 4

Lie-Ableitung ist Derivation

Answer 4

1. Lie-Ableitung ist Derivation
   da lineare Abbildung LX : C∞(M) -> C∞(M) mit LX(f·g) = LX(f)·g + f·LX(g).
2. Derivation von A
   Lineare Abbildung D : A → A auf assoziativer Algebra a
   über K mit D(f·g) = D(f)·g + f·D(g) für f,g ∈ A.
   –
   der(A) Menge der Derivationen von A (= Lie-Algebra mit Kommutator-Klammer).
3. Lie-Algebra
   K Körper, L K-Vektorraum. Bilineare Abbildung
   [·,·] : L×L → L, (x,y) → [x,y]
   heißt Lie-Klammer auf L, wenn
   (L1) [x,x] = 0 für alle x∈L, und
   (L2) [x,[y,x]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 für alle x,y,z∈L (Jacobi-Identität).
   Das Paar (L, [·, ·]) heißt Lie-Algebra.