10 Untermannigfaltigkeiten

Question 1

Untermannigfaltigkeit (eingebettet, immersiert, initial)

Untermannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten*

Zusammenhang zwischen den Umgfs

Answer 1

1. Untermannigfaltigkeit
   - eingebettete: S⊆M d-dim. eingebette Umgf, wenn für alle p∈S Karte (φ,U) von M mit p∈U existiert, sodass φ(U ∩ S) = φ(U) ∩ (R^d × {0}).
   - Untermannigfaltigkeit S mit Kodimension 1 (dimS = n−1) heißt glatte Hyperebene
   - -
   - immersierte: (ιS,S) aus glatter Mgf S⊆M und injektiver glatter Abbildung ιS : S → M, die Immersion ist (T(ιS ) injektiv auf jedem TR).
   - -
   - initiale: immersierte Umgf (ιS,S), sodass für alle glatten Mgfs N Abbildung f : N → S glatt genau dann, wenn ιS ◦ f : N → M glatt.
2. Untermannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten
   (L) Eingebettete Umgf ist Mgf und wird dadurch zu initialer Umgf.
3. Zusammenhang
   initial => immersiert, per Definition
   eingebettet => initial, per Lemma

Question 2

Beispiele von Untermannigfaltigkeiten (3)

(Bsp) immersierte Umgf, die nicht initial

Answer 2

1. eingebettete Umgf
   diskrete S von M ist 0-dim eingebettete Umgf (und umgekehrt)
   p∈S the condition in Definition 10.1 leads for d = 0 to
   φ(U ∩ S) = {0},
   so that U ∩ S = {p}. This means that S is a discrete subset of M.

2. immersierte, die nicht initial
M = R^2, S := ]0,2π[
φ: ]0,2π[ → R^2, t → (sint,sin2t)
- injektiv
- Ableitung in jedem Punkt ≠ 0  =>  Immersion
--
nicht initial:
betrachte N := ]0,2π[. Dann haben wir Abbildung ψ konstruiert, die nicht glatt, für die aber φ ◦ ψ glatt.

3. initial
   The linear subspace Rd ∼= Rd ×{0} ⊆ Rn is an initial submanifold because a map φ: N → Rd is smooth if and only if it is smooth as a map with values in Rn.

Question 3

Satz vom regulären Wert (global)

Satz von Sard

Answer 3

1. Satz vom regulären Wert (global)
   S := f^−1(y) Umgf von M, mit Dimension m − n, wenn y∈N regulärer Wert.
   –
   M m-dim Mgf, N n-dim Mgf, f : M → N glatt
   –
   f : M → N glatt. n∈N regulärer Wert von f, wenn für alle x∈f^−1(n), Tangentialabbildung Tx(f) : Tx(M) → Tn(N) surjektive (sonst singulärer Wert) .
   - insbes. jedes n∈N \ f(M) regulär.
2. Satz von Sard
   Existenz regulärer Werte für surjektive glatte Abbildung.
   –
   f(M1^c) is a set of measure zero in M2, i.e., for each chart (φ,U) of M2 the set φ(U ∩ f(M1c)) is of Lebesgue measure zero.
   –
   M1, M2 glatte Mgfs mit zweitem AA, f : M1 → M2 glatt, and M1^c Menge der kritischen Punkte von f (Punkte, in denen Tp(f) nicht surjektiv).
   –
3. AA: Topologie hat höchstens abzählbare Basis.

Question 4

Tangentialräume von Untermannigfaltigkeiten (2)

Answer 4

1. Tangentialräume eingebetteter Umgfs
   Tp(S) identifizieren wir mit Tp(φ)−1(R^d) (sieht man an Def.)
   (wird dann von Tp(φ) auf Unterraum R^d von R^n abgeb.)
2. Tangentialräume von S = f^-1(y)
   Wenn S := f^−1(y) Umgf von M, dann Tp(S) = ker Tp(f).
   –
   f : M → N glatt, y∈N regulärer Wert, p∈S.