2 Glatte Mannigfaltigkeiten und glatte Abbildungen

Question 1

n-dim C^k-Mannigfaltigkeit

Beispiele

Answer 1

1. n-dim C^k-Mgf
   Paar (M,A) aus Hausdorffraum M und maximalem n-dim C^k-Atlas von M (glatt, wenn k=∞).
   –
   Hausdorffraum:
   (X,τ) hausdorffsch, wenn für je zwei Punkte x≠y ∈ X disjunkte offene Mengen Ox,Oy existieren mit x∈Ox und y∈Oy (X,τ) (topologischer Raum).
   - Beispiel: Jeder metrische Raum (X, d) ist hausdorffsch.
   –
   n-dim C^k-Atlas: Familie A := (φi,Ui)i∈I von n-dim Karten von M mit:
   (A1) Ui∈I Ui = M, dh, (Ui)i∈I ist eine offene Überdeckung von M.
   (A2) Alle Karten (φi,Ui)i∈I sind paarweise C^k-verträglich
   –
   C^k-Atlas maximal, wenn er alle Karten enthält, die verträglich mit ihm sind.
   - max. C^k-Atlas = C^k-diffbare Struktur auf M (glatte Struktur, wenn k=∞)
   –
   Karte (φ,U) verträglich mit C^k-Atlas (φi,Ui)i∈I, wenn C^k-verträglich mit allen Karten des Atlas.
   –
   Karten (φ,U), (ψ,V) von M C^k-verträglich, wenn U∩V =∅ oder, wenn Abbildung
   ψ ◦ φ−1|φ(U∩V ) : φ(U ∩ V ) → ψ(U ∩ V )
   C^k-Diffeomorphismus.
   –
   n-dim Karte von M: Paar (φ,U) aus U ⊆ M offen, φ: U → φ(U) ⊆ Rn Homöomorphismus von U.
2. Beispiele
   - offene Teilmengen U ⊆ R^n mit der von R^n induzierten Topologie und der Inklusionsabbildung φ: U → R^n als glatten Atlas.
   - S^n mit der Teilraumtopologie, offene Überdeckung aus offenen Halbkreisen Ui^ε, die homöomorph auf offene Kugel abgebildet werden
   - Teilmenge M ⊆ R^n d-dim Umgf, wenn für jeden Punkt offene Umgebung U in R^n existiert und Diffeomorphismus φ: U → φ(U) ⊆ R^n auf offene Teilmenge mit φ(U ∩ M) = φ(U) ∩ (R^d × {0}).

Question 2

(S) Satz vom regulären Wert (lokal)

Beispiele: Quadrik, Gegenbeispiel, orthogonale Gruppe

Answer 2

1. Satz vom regulären Wert
   grob: Das Urbild eines regulären Werts ist eine glatte Mannigfaltigkeit.
   –
   U⊆R^n offen, f : U → R^m glatt, y∈R^m regulärer Wert.
   Dann ist M := f−1(y) eine (n−m)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R^n und damit insbesondere eine glatte Mannigfaltigkeit.
2. regulärer Wert
   f : U → R^m C^1.
   y ∈ R^m regulärer Wert von f, wenn für jedes x∈U mit f(x) = y das Differential df(x) surjektiv ist.
   Andernfalls singulärer Wert von f.
   Insbesondere ist jedes y ∈ R^m\f(U) ein regulärer Wert.

Question 3

(Bsp) “Nicht-hausdorffsche Mannigfaltigkeit”

Answer 3

1. S := R U’ R = ({1} x R) U ({2} x R)
2. Äquivalenzrelation
3. glatten Atlas nachweisen
4. Warum nicht hausdorffsch?

Question 4

(D) glatte Abbildung, Menge der, Diffeomorphismus, Menge der (4)

Answer 4

M, N glatte Mannigfaltigkeiten.

Stetige Abbildung f : M → N heißt glatt, wenn für jede Karte (φ,U) von M und für jede Karte (ψ,V) von N die Abbildung ψ ◦ f ◦ φ−1 : φ(f−1(V ) ∩ U) → ψ(V ) glatt ist.
(Warum macht es Sinn, das so zu definieren?)
(= Abbildung glatt, wenn lokal glatt)
(φ(f−1(V)∩U) offen, da f stetig)

C∞(M,N) Menge der glatten Abbildungen M → N, C∞(M,R) =:C∞(M).

Abbildung f : M → N heißt Diffeomorphismus, oder glatter Isomorphismus, wenn glatte Abbildung g : N → M existiert mit f ◦ g = idN und g ◦ f = idM.
(äquivalent zu: f bijektiv mit Inverse f−1 glatte Abbildung)

Diff(M) Menge der Diffeomorphismen von M.
(Betrachtet man hier dann glatte Abbildungen f : M->M mit Inversen oder warum nicht “Diff(M,N)”?)

Question 5

(L) Kompositionen glatter Abbildungen, Diff(M)

Answer 5

Kompositionen glatter Abbildungen sind glatt.

Insbesondere ist die Menge Diff(M) für jede glatte Mannigfaltigkeit eine Gruppe mit der Komposition als Verknüpfung.

Question 6

(D) glatte Kurve (offen), Verallgemeinerung Glattheit, glatte Kurve (nicht offen), stückweise glatt (4)

Answer 6

I ⊆ R offenes Intervall. Dann ist heißt eine glatte Abbildung γ : I → M glatte Kurve.

I ⊆ R nicht notwendigerweise offen. Abbildung γ : I → R^n heißt glatt, wenn alle Ableitungen γ^(k) in allen Punkten von I exisiteren und eine stetige Funktion I → R^n definieren.
(=Verallgemeinerung einer glatten Abbildung)

Basierend auf dieser Verallgemeinerung:
Kurve γ: I → M heißt glatt, wenn für jede Karte (φ,U) von M die Kurven φ ◦ γ : γ−1(U) → R^n glatt sind.

Kurve γ : [a, b] → M heißt stückweise glatt, wenn γ stetig ist und es eine Unterteilung x0 = a < x1 < ··· < xN = b gibt, sodass γ|[xi,xi+1] glatt ist für i = 0, …, N−1.