3. Harmonikus oszcillátor, analitikus és algebrai tárgyalás

Question 1

kötött állapotok 1D-ben

Hogy néz ki egy végtelen potenciálgödör? Hogy lehet csoportosítani V szerint?

Answer 1

• struktúra
• Schrödinger-egyenlet és HF
• csoportosítás V folytonossága szerint

Question 2

kötött állapotok 1D-ben

Mi az általános megoldása a végtelen potenciálgödörnek?

Answer 2

• hullámegyenlet felírása
• HF-ek behelyettesítése
• k és E meghatározása
• c együttható meghatározása normálással
• végső hullámegyenlet felírása + szemléltető ábrák

Question 3

harmonikus oszcillátor

Hogy néz ki egy harmonikus oszcillátor potenciálja és energiája?

Answer 3

• V felírása
• ábra
• E poz., meg neg. eset

Question 4

analitikus megoldás

Kiindulás és 1., 2. lépés?

Answer 4

Felírható a Schrödinger-egyenlet és új változók vezethetők be.

1: ξ(négyzet) —> végtelen limesz

• közelítő megoldás felírása

2: együttható leválasztása

• hullámfüggvény felírása
• visszahelyettesítés a Schrödingerbe

Question 5

analitikus megoldás

A 3. lépés?

Answer 5

3: h keresése hatványsor alakjában

• hatványsor felírása
• deriválások tagonként
• h-s Schrödingerbe visszahelyettesítés
• együtthatók meghatározása az egyenletből: rekurzió a(j)-re
• h megoldásának szétválasztása páros és ptlan részekre

Question 6

analitikus megoldás

A 4. lépés?

Answer 6

4: megnézni, ξ hogy viselkedik nagy j-re

• közelítések megtétele: felírás páros és ptlan h-kra
• probléma felismerése
• probléma megoldása: h véges polinom kell hogy legyen
• lehetőségek az együtthatókra

Question 7

analitikus megoldás

Hogy írhatóak fel a lehetséges energiaszintek?

Answer 7

• K kifejezése a j indexekkel
• j-ről n-re váltás, h paritása n függvényében
• E-be visszahelyettesítés
• szomszédos E-k távolságának felírása

Question 8

analitikus megoldás

Mi tehát az egyes együtthatókra vonatkozó szabály? Mi lesz a hullámfüggvény és energia n függvényében?

Answer 8

• együtthatók felírása egymás függvényében
• n = 0,1,2-s megoldások felírása
• megoldás felírása általános n-re
• végső hullámfüggvény és energia felírása

Question 9

algebrai megoldás

Hogy írható fel a Schrödinger-egyenlet az a operátorok segítségével?

Answer 9

• Schrödinger felírása más alakban
• a+ és a- bevezetése
• a szorzatuk és a kommutátoruk meghatározása
• innen a Schrödinger két alakja

Question 10

algebrai megoldás

Milyen megoldásai lehetnek a Schrödinger-egyenletnek az a-kkal?

Answer 10

A hullámfüggvény (a+)-szal és (a-)-szal szorozva is megoldás, csak más energiával: az a-k léptető függvények.

Question 11

algebrai megoldás

Mi történik a léptetéssel, ha tudjuk hogy E > 0? Ennek mi a fizikai jelentése?

Answer 11

A léptetésnek véget kell érnie, mert különben negatívba vinné az energiát.

• ψ0 meghatározása
• energiaszintek megadása
• megmutatni, hogy a+ visszaadja az analitikai megoldást