Vielteilchensysteme Flashcards
Wozu braucht man das Wissen über Vielteilchensysteme (wo liegt die Analogie zum Massenpunkt)?
Bei Vielteilchensystemen untersucht man die Bewegung für den i-ten Massenpunkt eines Systems von N Massenpunkten. Analog zum Massenpunkt, wo man die allgemeine Bewegung in einen geradlinigen Anteil und in eine Kreisbewegung zerlegen konnte, kann man die Bewegung von Vielteilchensystemen (oder von massiven Körpern) in eine Bewegung des Schwerpunkts und in eine Bewegung relativ zum Schwerpunkt zerlegen.
Wie lautet die Bewegungsgleichung für den i-ten Massenpunkt eines Systems von N Massenpunkten?
mᵢaᵢ = Σᴺₖ₌₁ Fᵢₖ + Fₑₓ,ᵢ
…wobei der erste Term dabei die Summe der durch die restlichen (N - 1) Teilchen auf Teilchen i ausgeübten Kräfte darstellt, und der zweite Term die Summe aller äusseren Kräfte widergibt.
Weswegen ist die Doppelsumme über die inneren Teilchenkräfte immer gleich null?
Σᴺᵢ₌₁Σᴺₖ₌₁ Fᵢₖ ergibt immer null, da es laut Newton’s drittem Axiom zu jeder Kraft eine gleichstarke Gegenkraft gibt, die sie kompensiert.
(Da die zweite Summe die Summe der durch die restlichen (N - 1) Teilchen auf Teilchen i ausgeübten Kräfte darstellt, während die erste Summe all’ diese zweiten Summen für alle Teilchen aufsummiert, summiert man über alle Kräfte und Gegenkräfte. Somit ist diese Summe gleich null.)
Wie lautet die Bewegungsgleichung des Schwerpunkts?
Die Bewegungsgleichung des Schwerpunkts lautet:
Fₑₓ = mₜₒₜ * (d²rₛ/dt²),
wobei der Ortsvektor rₛ := Σᴺᵢ₌₁ mᵢrᵢ / Σᴺᵢ₌₁ mᵢ der Schwerpunkt bzw. der Massenmittelpunkt ist.
(Da der Schwerpunkt der “Durchschnitt” aller Teilchen ist, reicht es, den Ortsvektor zu diesem Punkt zweimal abzuleiten, um so auf die altbekannte Gleichung F = ma zu kommen (hier: Totalmasse * Beschleunigung des Schwerpunkts).)
Was ist ein Schwerpunktsystem?
Ein Schwerpunktsystem ist ein System, dessen Ursprung im Massenschwerpunkt liegt.
(Es gilt somit insbesondere im Schwerpunktsystem die Gleichung Σᴺᵢ₌₁ mᵢrᵢ* = 0, wobei rᵢ* den Ortsvektor des i-ten Teilchens im Schwerpunktsystem darstellt.)
Wie kann man den Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten anhand der Drehmomente bestimmen?
Die bezüglich des Schwerpunkts als Drehpunkt ausgeübten Drehmomente Σᴺᵢ₌₁ Mᵢ = 0, da
Σᴺᵢ₌₁ (rᵢ* × Fᵢ) = Σᴺᵢ₌₁ (rᵢ* × mᵢ * g)
= Σᴺᵢ₌₁ (mᵢrᵢ* × g)
= (Σᴺᵢ₌₁ mᵢrᵢ*) × g = 0 × g = 0.
Man kann also den Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten bestimmen, in dem man im Schwerefeld den Drehpunkt so lange verändert, bis die Schwerkraft keinen Drehpunkt mehr ausübt.
Wie unterscheiden sich Geschwindigkeit eines Massenpunktes im Laborsystem zu dem im Schwerpunktsystem?
Die Geschwindigkeit vᵢ eines Massenpunktes im Laborsystem ist gleich der Summe aus der Geschwindigkeit vₛ des Schwerpunkts und der Geschwindigkeit vᵢ, es gilt also:
vᵢ= vₛ + vᵢ*
Wie kann man ein Schwerpunktsystem auch noch definieren?
Tipp: Summe der Impulse
Aus der Gleichung vᵢ = vₛ + vᵢ, folgt direkt:
pᵢ = mᵢvᵢ = mᵢvₛ + mᵢvᵢ = mᵢvₛ + pᵢ*.
Aus der Gleichung Σᴺᵢ₌₁ mᵢrᵢ* = 0 folgt somit für die Impulse 0 = d/dt(Σᴺᵢ₌₁ mᵢrᵢ) = Σᴺᵢ₌₁ mᵢvᵢ und demnach verschwindet die Summe aller im Schwerpunkt gemessener Impulse pᵢ* und man kann ein Schwerpunktsystem mit folgender Formel definieren:
Σᴺᵢ₌₁ pᵢ* = 0.
Wie berechnet man die kinetische Energie T eines Systems von N Teilchen im Laborsystem?
Was bedeutet dies für ein System, dessen Schwerpunkt in Ruhe ist?
T = Σᴺᵢ₌₁ (pᵢ*² / 2mᵢ) + 1/2 * mₜₒₜvₛ²
Die gesamte kinetische Energie T setzt sich also aus der Summe aller Einzelenergien im Schwerpunktsystem und aus der kinetischen Energie des Schwerpunkts, gemessen im Laborsystem, zusammen. So kann auch ein System, dessen Schwerpunkt in Ruhe ist, eine totale kinetische Energie haben, wie z.B. die kinetische Energie eines idealen Gases im Zusammenhang mit der Temperatur des Gases steht.
Aus welchen Teilen setzt sich der Gesamtdrehimpuls L eines Systems von Massenpunkten im Laborsystem zusammen und wie heissen diese Komponenten?
L = L* + Lₛ,
wobei L* den Eigendrehimpuls / Spin bezeichnet und Lₛ den Bahndrehimpuls.
(Herleitung der Formel s. Skript S. 161).
Was besagt der Drallsatz?
dL/dt = Mₑₓ,
wobei dL/dt die zeitliche Änderung des Systemdrehimpulses und Mₑₓ die Summe aller externen Drehmomente ist. Der Drehimpuls eines Systems ändert sich also nur, wenn ein äusseres Moment an ihm angreift. Ohne äusseres Drehmoment bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten:
Mₑₓ = 0 ⇒ dL/dt = 0 ⇒ L = konst.
Welche zwei Voraussetzungen müssen gelten, damit der Drallsatz gelten kann?
(1) L und Mₑₓ müssen bezüglich des gleichen Punktes O bestimmt werden.
(2) Der Nullpunkt O muss entweder ein in einem Inertialsystem ruhender Punkt oder der Schwerpunkt des betrachteten Körpers sein.
Was besagt der Schwerpunktsatz?
dpₛ/dt = Σᴺᵢ₌₁ Fₑₓ,ᵢ
Der Schwerpunkt bewegt sich mit konstantem Impuls, wenn die Summe aller äusseren Kräfte auf das N-Teilchen-System verschwindet.
(Der Satz ist eine spezielle Form des 2. Newton’schen Axioms.)
Was besagt der Impulssatz?
Σᴺ¹ᵢ₌₁ pᵢ = Σᴺ²ᵢ₌₁ p’ᵢ
Bei der Wechselwirkung von N₁ Teilchen bleibt die Summe der Impulse der an der Wechselwirkung beteiligten Teilchen konstant, auch wenn sich die Teilchenzahl ändert.
Wie lautet der Drehimpulssatz und welche drei Aussagen kann man aus ihm folgern?
dL/dt = Σᴺᵢ₌₁ rᵢ × Fₑₓ,ᵢ = Σᴺᵢ₌₁ Mₑₓ,ᵢ = Mₑₓ
(1) Die durch die internen Kräfte hervorgerufenen Drehmomente kompensieren sich zu null (wegen Newtons drittem Axiom).
(2) Die zeitliche Änderung des totalen Drehimpulses eines N-Teilchen-Systems wird ausschliesslich durch die Drehmomente der externen Kräfte hervorgerufen.
(3) Der Drehimpuls eines N-Teilchen-Systems bleibt nach Betrag und Richtung konstant, wenn die Summe der externen Drehmomente verschwindet.
