Einleitung Flashcards
Wie ist eine physikalische Grösse definiert?
Sie kennzeichnet Eigenschaften und beschreibt Zustände sowie Zustandsänderungen von Objekten der Umwelt.
Eine Grösse besteht aus Zahlenwert {G} multipliziert mit Einheit [G], z.B. für Längen:
l = {l} * [l] = 2,3 * m = 2,3m
Welches sind die sieben SI-Einheiten und was repräsentieren sie?
Länge (l) → Meter [m] Masse (m) → Kilogramm [kg] Zeit (t) → Sekunde [s] Stromstärke (I) → Ampere [A] Temperatur (T) → Kelvin [K] Stoffmenge (n) → Mol [mol] Lichtstärke (Iᵥ) → Candela [cd]
Was ist eine Ableitung und wie ist sie definiert?
Mithilfe der Ableitung berechnet man die Steigung y’(x₀) der Tangente im Punkt (x₀, y₀) der Funktion y = f(x):
y’(x₀) := df(x) / dx
:= limₓ₁⇾ₓ₀ (f(x₀) - f(x₁) ∶ x₀ - x₁)
Was ist eine Taylorreihe?
Ja, was the fuck ist eine Taylorreihe????
→ 3blue1brown
Was ist eine partielle Ableitung? Was ist die partielle Ableitung ∂f / ∂x einer Funktion f(x, y, z)?
Sei f(x, y, z) eine Funktion von mehreren Variablen. Die Ableitung f nach der Variablen x bei konstant gehaltenen y, z nennt man partielle Ableitung. Da d/dx (x) = 1, gilt ∂f / ∂x = yz für f(x, y, z).
Was ist ∂f / ∂x für f(x, y) = √(x² + y²)?
∂f / ∂x = 1/2 * (1 / √(x² + y²)) * 2x
= x / √(x² + y²).
Was ist das Integral und wie ist es definiert?
Man braucht das Integral, um eine Fläche A unter einer Funktion y = f(x) zu berechnen. Diese lässt sich durch eine Summe von Rechtecken mit konstanter Breite ax (eigentlich: ∆x) approximieren, von welchen wir die Breite gegen 0 streben lassen, um die genaue Fläche zu erhalten. Somit:
A = ∫ f(x)dx
= limₐₓ⇾₀ Σⁿ⁻¹ₖ₌₀ f(xₖ + ax / 2) * ax
= F(xₙ) - F(x₀).
Wie ist die Stammfunktion F(x) definiert?
F(x) = ∫ f(x)dx.
Somit ist: dF/dx = d/dx (∫ f(x)dx) = f(x).
Was ist aus einer physikalischen Perspektive der Unterschied zwischen Vektoren und Skalaren?
Skalare Grössen lassen sich durch reelle Zahlen ausdrücken, wie z.B. Temperatur, Masse, usw., die sich an bestimmten Punkten im Raum lokalisieren lassen.
Vektorielle Grössen wie Geschwindigkeit, Impuls oder Kraft besitzen neben dem Betrag auch eine Richtung und lassen sich somit in ℝ³ darstellen.
Was macht ein Skalarprodukt, wie ist es definiert und weshalb ist es wichtig für die Physik?
Das Skalarprodukt zweier Vektoren a, b mit Winkel φ verjüngt diese zu einem Skalar. Es führt eine Metrik im Vektorraum ein und man kann Länge von und Winkel zwischen Vektoren bestimmen. Es ist definiert als:
a · b = |a| * |b| * cos(φ)
Was muss für die Vektoren a und b gelten, wenn das Skalarprodukt “verschwindet”?
Entweder stehen die Vektoren senkrecht zueinander oder a = 0 oder b = 0.
Was besagt der Kosinussatz?
Sei c = a + b eine Summe zweier Vektoren, so gilt:
c² = c · c = |c|² = (a + b)² = |a|² + |b|² + 2a · b
Somit erhalten wir den Kosinussatz:
|c|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cos(φ).
Was ist ein Einheitsvektor?
Ein Einheitsvektor e eines Vektors a ist ein Vektor mit Betrag 1 und Richtung von a, also:
eₐ = a / |a| oder a = |a| · eₐ
Was ist das äussere Produkt und wozu braucht man es?
Mit dem äusseren Produkt zweier Vektoren a und b kann man eine Fläche A im Raum berechnen:
A = a ∧ b.
Die Reihenfolge der Vektoren gibt dabei eine Drehrichtung vor, sodass gilt:
a ∧ b = -b ∧ a
a ∧ a = 0
Man nennt diese Grösse auch eine orientierte Fläche.
Was ist das Vektor- bzw. das Kreuzprodukt und wofür braucht man es?
Da das äussere Produkt für Dimensionen ℝⁿ, n ≥ 2 nicht definiert ist, rechnet man mit dem Vektor- oder Kreuzprodukt. Der Vektor c steht dabei senkrecht auf der orientierten Fläche A, so dass c = a × b und A = |c|.
