Kinematik des Massenpunktes

Question 1

Was ist der zentrale Unterschied zwischen Kinematik und Dynamik?

Answer 1

Die Kinematik beschreibt, wie sich Körper im Raum bewegen, aber nicht warum? Die Dynamik fragt nach den Ursachen dieser Bewegungen.

Question 2

Was ist ein Massenpunkt? Wofür ist er gut?

Answer 2

Ein Massenpunkt ist ein idealisierter Körper, dessen Masse in einem Punkt konzentriert ist. Es vereinfacht Betrachtung und Berechnung von Bewegungen bestimmter Objekte im Raum.

Question 3

Wie sind Länge und Richtung eines Ortsvektors r definiert?

Answer 3

Länge: |r| = √(x² + y² + z²)

Richtung: r̂ = r / |r|

Question 4

Was ist ein Verschiebungsvektor Δr und was macht er?

Answer 4

Er gibt die Distanz zwischen den Zeitpunkten t₁ und t₂ erreichten Orten wieder (Richtung und Länge).
Δr = r(t₂) - r(t₁).

Question 5

Wie berechnet man den längs einer Bahnkurve 𝛤 zurückgelegte Weg Δs?

Answer 5

Δs = ∫ |dr| = ∫ √(dx² + dy² + dz²)

Question 6

Wie steht die (momentane und mittlere) Geschwindigkeit mit dem Ortsvektor im Zusammenhang? Wie kann man das herleiten?

Answer 6

Die mittlere Geschwindigkeit ist durch den Quotienten aus Verschiebungsvektor und entsprechendem Zeitintervall gegeben:
= Δr / Δv
= r(t + Δt) - r(t) ∶ Δt.

Für den Grenzfall Δt → 0 erhalten wir die momentane Geschwindigkeit v(t):
v(t) = lim𝛥t⇾0 (r(t + 𝛥t) - r(t) ∶ Δt)
= dr(t)/dt
= ṙ(t).

Wir müssen also die drei Komponenten des Ortsvektors nach der Zeit ableiten, so dass:
v(t) = ṙ(t) = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t))

Question 7

Sei ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit |v₀| längs einer Geraden unterwegs. Der Geschwindigkeitsvektor v₀ soll in der xz-Ebene liegen und um einen Winkel 𝜑 gegen die x-Achse geneigt sein. Wie erhalten wir die Komponenten des Ortsvektors r(t), der diese Bewegung beschreibt?

Answer 7

Der allgemeine Geschwindigkeitsvektor v(t) ist gegeben durch: v(t) = (vx, vy, vz) = (v₀ cos(𝜑), 0, v₀ sin(𝜑)). Um den Ortsvektor zu erhalten, integriert man (oder bedient sich der allgemeinen Formel: x(t) = x₀ + v₀t) und erhält:
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (x₀ + v₀t cos(𝜑), y₀, z₀ + v₀t sin(𝜑)).
Hierbei sind x₀, y₀, z₀ vorerst unbekannte Integrationskonstanten. Verlangen wir, dass sich der Körper zu t = 0 im Ursprung befindet, so gilt:
r(t) = (v₀t cos(𝜑), 0, v₀t sin(𝜑)).

Question 8

Es bewege sich ein Körper in drei Dimensionen mit einer Geschwindigkeit v(t). Wie erhält man die Verschiebung r(t)? Wie erhält man die zurückgelegte Strecke Δs(t)?

Answer 8

Wir integrieren dazu die Geschwindigkeit von t₀ bis t und addieren den Ortsvektor von t₀ dazu:
r(t) = r(t₀) + ∫ᵗₜ₀ v(t’)dt’
= (x(t₀), y(t₀), z(t₀)) + (∫ᵗₜ₀ vx(t’)dt’, ∫ᵗₜ₀ vy(t’)dt’, ∫ᵗₜ₀ vz(t’)dt’)
Beachte, dass t’ geschrieben wird, um es nicht mit dem t im Integral zu verwechseln.

Die zurückgelegte Strecke Δs(t) ist gleich der Bogenlänge der Bahnkurve:
Δs(t) = ∫ᵗₜ₀ |v(t’)|dt’ = ∫ᵗₜ₀ |dr(t’)| = ∫ᵗₜ₀ √((dx)² + (dy)² + (dz)²)

Question 9

Wie steht die momentane Beschleunigung im Zusammenhang mit Geschwindigkeit und Ortsvektor?

Answer 9

Die Beschleunigung a(t) ist definiert durch die zeitliche Änderung des Geschwindigkeitsvektors. Leiten wir also die Geschwindigkeit ab (bzw. den Ortsvektor zweimal ab), so erhalten wir die Beschleunigung:
a(t) = dv(t)/dt = d²r(t)/dt².
Und somit:
a(t) ) (v̇x(t), v̇y(t), v̇z(t)) = (ẍ(t), ÿ(t), z̈(t))

Question 10

Ein Körper bewegt sich mit gleichförmiger Beschleunigung a(t). Was sind Geschwindigkeit v(t) und Verschiebung r(t) des Körpers?

Answer 10

a(t) = a₀ = const
v(t) = v(t₀) + ∫ᵗₜ₀ a(t')dt' = v(t₀) + a₀ ∫ᵗₜ₀ dt' = v(t₀) + a₀ * (t - t₀)
r(t) = r(t₀) + v(t₀) * (t - t₀) + 1/2a₀ * (t - t₀)²

Question 11

Sei r(t) die Verschiebung eines Körpers im freien Fall. Wie sieht r(t) in drei Dimensionen aus?

Answer 11

r(t) = (x₀, y₀, z₀ - 1/2gt²)

Question 12

Sei r(t) die Verschiebung eines Körpers, der in einem Winkel 𝛼 nach vorne (x-Achse) geworfen wird. 
Wie sieht r(t) in drei Dimensionen aus? Wie nennt man die dabei entstehende Bahnkurve?

Answer 12

r(t) = (vtcos(𝛼), 0, z₀ + vtsin(𝛼) - 1/2gt²)

Die Bahnkurve bezeichnet man als Wurfparabel.

Question 13

Bewege sich ein Massenpunkt gleichmässig im Kreis. Wie ist der Ortsvektor r(t) vom Kreismittelpunkt zum Massenpunkt definiert? Wie erhält man Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t)?

Answer 13

r(t) = |r| * (cos (𝜔t + 𝜑₀), sin(𝜔t + 𝜑₀), 0)
wobei 𝜔 die Winkelgeschwindigkeit und 𝜑 der Winkel ist.

Für die Geschwindigkeit v(t) leitet man den Ortsvektor einmal ab:
v(t) = ṙ(t) = r𝜔 * (-sin(𝜔t + 𝜑₀), cos(𝜔t + 𝜑₀), 0).

Für die Beschleunigung a(t) leitet man die Geschwindigkeit ab:
a(t) = v̇(t) = -r𝜔² * (cos (𝜔t + 𝜑₀), sin(𝜔t + 𝜑₀), 0).

Question 14

Was versteht man unter Zentripetalbeschleunigung und wovon hängen Betrag und Richtung der Zentripetalbeschleunigung ab?

Answer 14

Die Zentripetalbeschleunigung ist die immer auf das Zentrum zu gerichtete Beschleunigung in einer Kreisbewegung. Die Richtung des Beschleunigungsvektors ändert sich konstant, während der Betrag vom Abstand r zur Drehachse abhängt und proportional zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit ist:
a(t) = r𝜔² = v² / r
Beachte den Spezialfall der gleichförmigen Kreisbewegung, bei dem |a(t)| konstant bleibt.

Question 15

Wie stehen Winkelgeschwindigkeit 𝜔, Periode T und Drehzahl/Frequenz 𝜈 im Verhältnis zueinander?

Answer 15

Periode:
T = 2𝜋 / 𝜔 = 2𝜋r / v.
Drehzahl/Frequenz:
𝜈 = 1 / T = 𝜔 / 2𝜋 = v / 2𝜋r.
Winkelgeschwindigkeit:
𝜔 = v / r

Question 16

Wir betrachten eine Drehung in der Ebene, die im Abstand z parallel zur xy-Ebene liegt. Sie 𝜌 der Radiusvektor, v die tangentiale Geschwindigkeit und 𝜔 die Winkelgeschwindigkeit.
Wie kann man die Winkelgeschwindigkeit als Vektor betrachten und wie steht er den anderen Vektoren gegenüber? Was gilt für die Einheitsvektoren e(v), e(𝜌) und e(𝜔)?

Answer 16

Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit 𝜔 ist gegeben durch 𝜔 = 1/𝜌² * (p × v ) und steht somit senkrecht zur Kreisebene.
Da 𝜌, v und 𝜔 ein rechtshändiges, rechtwinkliges Koordinatensystem bilden, gilt für ihre Einheitsvektoren:
e(v) = e(𝜔) × e(𝜌).

Question 17

Was ist die Winkelbeschleunigung 𝛼 und was muss gelten, damit sie existieren kann?

Answer 17

Falls die Winkelgeschwindigkeit nicht konstant ist, also 𝜔 = 𝜔(t) gilt, erhalten wir die Winkelbeschleunigung:
𝛼 := d𝜔/dt = d²𝜑/dt²

Question 18

Falls die Winkelbeschleunigung 𝛼 existiert: Wie ist die Beschleunigung a definiert und in welche beiden Komponenten lässt sie sich unterteilen?

Answer 18

Da der Betrag der Geschwindigkeit v = r𝜔(t) nicht mehr konstant ist (da 𝛼 existiert), lässt sich die Beschleunigung folgendermassen definieren:
a(t) = dv/dt =
r * d²𝜑/dt² * (-sin(𝜑(t)), cos(𝜑(t)))
- r * (d𝜑/dt)² * (cos(𝜑(t)), sin(𝜑(t))),

wobei r * d²𝜑/dt² * (-sin(𝜑(t)), cos(𝜑(t))) = a∥ die tangentiale Beschleunigungskomponente und
r * (d𝜑/dt)² * (cos(𝜑(t)), sin(𝜑(t))) = a⊥ die zentripetale Beschleunigungskomponente ist.

Question 19

Wie sind die Beträge der Beschleunigung in einer Kreisbewegung a und ihrer beiden Komponenten definiert?

Answer 19

|a∥| = r * d²𝜑/dt² = dv/dt
|a⊥| = r * (d𝜑/dt)²
|a| = r * √((d²𝜑/dt²)² +  (d𝜑/dt)⁴) = r * √(𝛼² + 𝜔⁴)

Question 20

Welche Eigenschaften müssen gelten, damit für einen Massenpunkt auf einer Bahnkurve 𝛤 eine beschleunigte Bewegung a ≠ 0 vorliegt?

Answer 20

Eine beschleunigte Bewegung liegt vor, wenn…

1. …sich der Betrag der Geschwindigkeit |v| ändert, oder
2. …wenn sich die Richtung e∥ ändert, wobei e∥ der Einheitsvektor zur Tangentialbeschleunigung ist, oder
3. …wenn sich sowohl Betrag als auch Richtung ändern.

Question 21

Wie kann man die Beschleunigung in einer Kreisbewegung a(t) mithilfe der Einheitsvektoren e∥ und e⊥ definieren?

Answer 21

a(t) = dv/dt * e∥(t) + v²/r * e⊥(t)