Gravitationstheorie Flashcards
Betrachte man Sonne und Erde in einem isolierten System (d.h., ohne externen Einflüsse anderer Fixsterne, des Mondes, etc.): Welche Konsequenz folgt aus dem Impulssatz für Sonne und Erde?
Seien M, R, und V Masse, Ortsvektor und Geschwindigkeit der Sonne und parallel m, r, v jene der Erde. Vom Impulssatz können wird herleiten, dass der Gesamtimpuls konstant bleibt:
Fₑₓ = 0 ⇒ pₜₒₜ = mv + MV = konstant
Seien M, R, und V Masse, Ortsvektor und Geschwindigkeit der Sonne und parallel m, r, v jene der Erde: An welcher Stelle befindet sich der Schwerpunkt der beiden Körper?
Der Schwerpunkt s der beiden Körper befindet sich an der Stelle:
s = (mr + MR) / (m + M)
Wie lautet das Zweite Kepler’sche Gesetz und wie wird es hergeleitet?
“Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.”
Im Schwerpunktsystem bewegen sich Sonne und Planet mit entgegengesetzt gerichteten Geschwindigkeiten um den gemeinsamen Schwerpunkt.
Es gilt: M»_space; m und r»_space; R und v»_space; V. Durch Vernachlässigung der viel kleineren Grössen m, R und V erhält man als Konsequenz des Drallsatzes:
Mₑₓ = 0 ⇒ Lₜₒₜ = r × p = m(r × v) = konstant.
Wählt man das Koordinatensystem so, dass zu einer Zeit t₀ die Vektoren r(t₀) und v(t₀) in der xy-Ebene liegen, folgt für die in einer Zeit dt vom Vektor r überstrichene Fläche dA die Flächengeschwindigkeit:
dA = 1/2(|r × v|)dt = |Lₜₒₜ / 2m| dt und somit Ȧ = dA/dt = Lₜₒₜ / 2m
Wie lautet das Erste Kepler’sche Gesetz?
Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
(Herleitung s. Skript S. 187ff.)
Wie berechnet man die Umlaufzeit T eines einzelnen Planeten?
T = [Fläche der Ellipse] / [Flächengeschwindigkeit]
= 𝜋ab / (L / 2m),
wobei a der Radius der kurzen Achse und b der der langen Achse der Ellipse darstellt.
Wie lautet das Dritte Kepler’sche Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten T zweier verschiedener Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer grossen Bahnhalbachsen a.
(Herleitung s. Skript S. 189)
Was ist die Exzentrizität? Welche vier Werte kann sie annehmen und was folgt daraus?
Die Exzentrizität 𝜀 ist eine charakteristische Grösse für die Bahn eines Himmelskörpers. Für die genaue mathematische Definition siehe Skript S. 188f., man kann sie jedoch in etwa so umschreiben, dass sie den "Krümmungsgrad" der Bahn beschreibt, also wie fest die Bahn gegen sich selbst gekrümmt ist. Daraus folgt: 𝜀 = 0: Kreis 0 < 𝜀 < 1: Ellipsen 𝜀 = 1: Parabeln 𝜀 > 1: Hyperbeln
(Gute Bilder zur Veranschaulichung auf Wikipedia: Exzentrizität (Astronomie) oder auf spektrum.de (Lexikon der Astronomie))
Was sind Perihel und Aphel einer elliptischen Umlaufbahn eines Planeten?
Der Aphel ist der sonnenfernste Bahnpunkt einer Umlaufbahn und der Perihel der sonnennächste Bahnpunkt.
Für die Erde zum Beispiel beträgt die Distanz zur Sonne am Aphel 152,1 Millionen Kilometer und am Perihel 147,1 Millionen Kilometer.
Wie lautet die Gleichung für die Energie eines Körpers im Gravitationsfeld und in welche zwei Teile kann sie unterteilt werden?
Die Energie eines Körpers im Gravitationsfeld ist gegeben durch:
E = 1/2(mv²) - Gₙ * mM/r = konstant,
wobei Gₙ die Newton’sche Gravitationskonstante, m die kleinere und M die grössere Masse beschreibt.
Aus
E = 1/2(mv²) - Gₙ * mM/r
= 1/2m * (ṙ² + L²/m²r²) - Gₙ * mM/r
folgt die Unterteilung in den Radialteil Tᵣ, der die kinetische Energie der Radialbewegung beschreibt, und den Winkelanteil Tₚₕᵢ, der die kinetische Energie der Tangentialbewegung bei festem Abstand angibt:
Tᵣ = 1/2mṙ² Tₚₕᵢ = L² / 2mr²
Wie ist das effektive Gravitationspotential definiert?
Die Summe Eₚᵉᶠᶠ := Eₚ(r) + L² / 2mr² wird als effektives Potential bezeichnet, wobei der Anteil Eₚ(r) das ursprüngliche Gravitationspotential ist. Es folgt:
Eₚᵉᶠᶠ = - Gₙ * mM/r + L² / 2mr²
In welchem Zusammenhang stehen die einem Körper zur Verfügung stehende kinetische Energie T(r) und das effektive Potential?
Die einem Körper mit einer vorgegebenen Energie E beim Abstand r zur Verfügung stehende kinetsiche Energie T(r) der Radialbewegung ist gleich:
T(r) = E - Eₚᵉᶠᶠ(r).
In welche Bereiche von T(r) kann kann der Körper gelangen und wie unterscheiden sich diese Bereiche?
Tipp: T(r) ist die einem Körper zur Verfügung stehende kinetische Energie E - Eₚᵉᶠᶠ(r).
Der Körper kann nur in jene Bereiche gelangen, für die T(r) ≥ 0 gelten:
(1) Für E = E₁ < 0 und T > 0 ist der Körper gebunden und bewegt sich zwischen dem Perihel a(1 - 𝜀) und dem Aphel a(1 + 𝜀) der Planetenbahnen um die Sonne.
(2) Für E = E₀ < 0 und T = 0 weist die Bahnkurve den festen Wert r = r₀ auf und ist daher ein Kreis.
(3) Für E = E₂ > 0 und T > 0 ist der Körper nicht gebunden. Je nach Energie erreicht er einen minimalen Abstand, bei dem die kinetische Energie gerade verschwindet. Die Bahnkurve ist eine Hyperbel und die Bahnbewegung eine Streuung.
Welche Aussage lässt sich über das Gravitationsfeld im Innern einer homogenen mit Masse belegten Kugelschale machen?
Das Gravitationsfeld im Innern einer homogenen mit Masse belegten Kugelschale ist gleich null.
(Herleitung s. Skript S. 193ff.)
Welche Aussage lässt sich über das Gravitationsfeld ausserhalb einer homogenen mit Masse belegten Kugelschale machen?
Das Gravitationsfeld ausserhalb einer homogenen mit Masse belegten Kugelschale ist identisch mit einem Feld, das durch die selbe Masse erzeugt wird, wenn sie sich im Kugelmittelpunkt befindet.
(Herleitung s. Skript S. 196)
Wie ist das Gravitationsfeld im Innern einer homogenen kugelsymmetrischen Massenverteilung definiert?
Es nimmt linear mit dem Abstand vom Mittelpunkt zu. Ausserhalb der Massenverteilung gilt wiederum dasselbe wie bei der hohlen Kugel.
(Herleitung s. Skript S. 197 ff.)
