Dynamik des starren Körpers (unvollständig) Flashcards
Was sind starre Körper?
Ein starrer Körper ist ein idealisierter Festkörper, in dem alle Teilchen einen konstanten Abstand haben, auch wenn äussere Kräfte oder Drehmomente wirken. Es ist somit ein Spezialfall eines Vielteilchensystems.
Wie geht man vor, will man den Schwerpunkt eines starren Körpers berechnen?
Wie auch beim System mit N Teilchen unterteilt man den Körper in infinitesimale Bereiche mit Volumen 𝛥Vᵢ und Massendichte 𝜌ᵢ. Somit entsteht ein Integral über:
rₛ = 1/M * ∫ r dm = 1/M ∫ᵥ r 𝜌 dV
Was ist eine Wirkungslinie?
Im Allgemeinen kommt es bei einem starren Körper darauf an, an welchem Punkt die Kraft angreift, da, wenn die Kraft nicht am Schwerpunkt angreift, ein Drehmoment bewirkt wird.
Eine Wirkungslinie ist jedoch eine Linie, entlang welcher der Angriffspunkt P einer Kraft F beliebig verschoben werden kann.
Welche drei Fälle müssen bei der Addition von zwei Kräften F = F₁ + F₂ unterschieden werden?
(1) F₁ + F₂ greifen in einem Punkt an ⇒ Kräfte werden vektoriell addiert.
(2) F₁ + F₂ greifen in verschiedenen Punkten an ⇒ Man verschiebt beide Kräfte längs ihrer jeweiligen Wirkungslinie bis zu deren Schnittpunkt und addiert anschliessend ebenso wie bei (1).
(3) F₁ + F₂ greifen in verschiedenen Punkten an und sind parallel ⇒ Man erzeugt mit Hilfskräften, welche sich zu null addieren, neue Kräfte, deren Wirkungslinie sich schneiden, und geht anschliessend vor wie bei (2).
(Gutes Bild dazu im Skript S. 208)
Wie wechselt man von einem rechts- in ein linkshändiges Koordinatensystem?
Im rechtshändigen Koordinatensystem ist die Reihenfolge der Basisvektoren zyklisch ({x̂, ŷ, ẑ}), im linkshändigen Koordinatensystem antizyklisch ({x̂, ẑ, ŷ}). Man spiegelt also die drei Koordinatenachsen am Ursprung: x̂’ = -x̂; ŷ’ = -ŷ; ẑ’ = -ẑ.
(Dies erscheint erst etwas unintuitiv, wird aber bei Veranschaulichung einer Skizze klar, z.B. Skript S. 210.)
Was passiert mit dem Drehmoment eines starren Körpers beim Wechsel vom rechtshändigen ins linkshändige Koordinatensystem und warum?
Da bei dieser Drehung nur polare Vektoren (hier r und F) ihre Vorzeichen ändern, nicht aber axiale Vektoren (wie der Drehmoment), bleibt der Drehmoment von der Spiegelung nicht betroffen. Dies sieht man, da:
M = r × F, nach Spiegelung: M’ = (-r) × (-F) = M.
Wie verändert sich das Drehmoment M bei einer beliebigen Verschiebung b einer Kraft F?
Da das Drehmoment von der Lage des Drehpunktes O abhängt, ändert sich bei einer beliebigen Verschiebung b das Drehmoment wie folgt:
M₂ = r₂ × F = (r₁ + b) × F
= r₁ × F + b × F
= M₁ + (b × F)
Wie ist das Drehmoment definiert, greifen mehrere Kräfte am gleichen Punkt an?
Dann ist das Drehmoment gleich der Summe aller mit den angreifenden Kräften verknüpften Drehmomente:
M = r × Σⁿᵢ₌₁ Fᵢ = Σⁿᵢ₌₁ (r × Fᵢ) ⇒ M = Σⁿᵢ₌₁ Mᵢ.
Was ist ein Kräftepaar und wie wirkt es auf einen Körper?
Ein Kräftepaar besteht aus zwei dem Betrag gleich grossen, aber entgegengesetzt gerichteten Kräften, die nciht am seleben Punkt oder an einer gemeinsamen Wirkungslinie ansetzen, so dass gilt F₁ + F₂ = 0. Es verursacht also keine Beschleunigung des Körpers, sondern lediglich eine Winkelbeschleunigung.
Was gilt für das durch ein Kräftepaar verursachte Drehmoment?
Es hängt nur vom Relativabstand r₁₂ der beiden Angriffspunkte, und zwar von der zu den Kräften senkrechten Komponente r₁₂⊥, nicht aber vom Ort der Drehachse ab.
Wie kann man die Wirkung einer in einem Punkt P angreifenden Einzelkraft aufspalten?
Sei F eine im Punkt P angreifende Kraft. Dann kann man die Kraft F in eine Kraft F’ die parallel zu F in O angreift, und eine Kraft F’’, die entgegengesetzt zu F’’ in O angreift. Man hat also ein Kräftepaar durch F und F’’, das eine reine Drehung induziert, sowie die Kraft F’, welche eine reine Translation (Bewegung) induziert.
Wann ist ein Körper im statischen Gleichgewicht?
Ein Körper ist im statischen Gleichgewicht, wenn er sich unter dem Einfluss der angreifenden Kräfte nicht in Bewegung setzt und folgende Bedingungen erfüllt sind:
(1) Keine translatorische Bewegung: Fres = Σⁿᵢ₌₁ Fᵢ = 0.
(2) Keine Drehbewegung Mres = Σⁿᵢ₌₁ Mᵢ = 0.
Was sind Freiheitsgrade? Wie viele Freiheitsgrade hat ein Massenpunkt... (1) ...im Raum? (2) ...auf einer Kugeloberfläche? (3) ...auf einer Bahnkurve? Begründe.
Freiheitsgrade sind Koordinaten, mit denen man den Ort des Massenpunktes festlegen kann, z.B. kartesische Koordinaten oder Kugelkoordinaten.
(1) Im Raum kann man den Punkt beliebig verschieben, also hat ein Punkt alle drei Freiheitsgrade.
(2) Auf einer Kugeloberfläche kann man ihn nur noch durch zwei Freiheitsgrade (𝜗, 𝜑) verschieben, da r konstant ist.*
(3) Analog zu (2) hat man nur noch einen Freiheitsgrad, wenn man den Punkt auf eine Bahnkurve im Raum zwingt (nämlich den Ort auf der Kurve in Vor- oder Rückrichtung).
- (Man kann ihn zwar auch durch kartesische Koordinaten beschreiben, jedoch sind alle drei Koordinaten nie “ganz frei”, da sie ja immer noch auf der Kugeloberfläche liegen müssen, auch wenn man die Kugel im Raum verschiebt.)
Weswegen braucht man zur Beschreibung eines starren Körpers sechs Freiheitsgrade (und welche)?
Drei Ortskoordinaten x, y, z beschreiben die Lage eines ausgezeichneten Punktes O’ (meistens der Schwerpunkt).
Drei Winkel 𝜑, 𝜗, 𝜓 beschreiben die Orientierung des Körpers.
Somit ergibt sich die allgemeine Bewegung aus einer Bewegung von O’ resp. dem Schwerpunkt S, genannt “Translation”: {xₒ(t), yₒ(t), zₒ(t)}*, sowie einer Drehung um O’, genannt “Rotation”: {𝜑(t), 𝜗(t), 𝜓(t)}.
*Beachte: xₒ hat Index “O”, nicht “null” (Lesbarkeit).
Was gilt für die allgemeine Bewegung eines starren Körpers und seine Freiheitsgrade, wenn…
(1) … O’ festgehalten wird?
(2) … die Rotation um eine raumfeste Achse erfolgt?
(1) Wird O’ festgehalten, so ist nur noch die Translation möglich und es verbleiben drei Freiheitsgrade.
(2) Dreht der Körper um eine feste Achse, so bleibt nur der Rotationswinkel 𝛼(t) um diese Achse als Freiheitsgrad.
