Dynamik des Massenpunktes

Question 1

Auf welchen drei Begriffen bzw. physikalischen Grössen beruht die gesamte klassische Mechanik?

Answer 1

Masse, Impuls und Kraft.

Question 2

Was ist der Unterschied zwischen Masse und Gewicht?

Answer 2

Die Masse ist eine skalare Eigenschaft eines Körpers und beschreibt, wie viel “Stoff” im Körper enthalten ist.
Das Gewicht hingegen ist eine Kraft, die ein Körper ausübt. Sie ist somit eine vektorielle Grösse.

Question 3

Wie wird die Masse definiert?

Answer 3

Man wählt eine genormte Masse und vergleicht andere Massen mit der genormten Masse. Diese Normmasse ist das Kilogramm.

Question 4

Wie unterscheiden sich schwere und träge Masse?

Answer 4

Die schwere Masse ist die Eigenschaft eines Körpers, die wir mit der Waage messen.
Die träge Masse hingegen ist die Eigenschaft, die wir mit einem Rückstossexperiment messen, sprich den Widerstand, den ein Körper der Veränderung seines Bewegungszustands entgegensetzt.

Question 5

Was ist - allgemein in der Physik - ein Erhaltungsgesetz?

Answer 5

Ein Erhaltungsgesetz drückt aus, dass sich eine Grösse nicht ändert, sondern im Laufe der Zeit konstant bleibt und somit vor und nach verschiedenen Vorgängen dieselbe sein wird.

Question 6

Wie ist der lineare Impuls eines Teilchens definiert?

Answer 6

Der lineare Impuls p eines Teilchens ist gleich dem Produkt aus seiner Masse und seiner Geschwindigkeit: p = mv.

Question 7

Betrachte ein Rückstossexperiment zweier Wagen mit Massen m₁ und m₂ sowie Geschwindigkeiten v₁ und v₂. Wie kann man mit diesem Experiment die Impulserhaltung erklären?

Answer 7

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v’₁ + m₂v’₂ = p₁ + p₂ = 0,
wobei v die Geschwindigkeit vor und v’ die Geschwindikeit nach dem Vorgang bezeichnet. Daraus schliesst man, dass sich die Summe der linearen Impulse der Wagen trotz des Rückstosses nicht geändert hat:
pₜₒₜ (vorher) = pₜₒₜ (nachher).

Question 8

Wie ist das Gesetz der Impulserhaltung formuliert?

Answer 8

Für ein abgeschlossenes System von Massenpunkten, auf das keine äusseren Kräfte wirken, gilt, dass der Gesamtimpuls pₜₒₜ erhalten bleibt.
(Also seien in einem abgeschlossenen System i = 1, …, n Massenpunkte gegeben mit Impulsen pᵢ und
pₜₒₜ = Σⁿᵢ₌₁ pᵢ, dann gilt, dass pₜₒₜ konstant ist.)

Question 9

Was muss man bei der Betrachtung der Impulserhaltung im 3-dimensionalen Raum beachten?

Answer 9

Dass es drei unabhängige Erhaltungssätze gibt, eine für jede Dimension des Raums (pₜₒₜ(x), pₜₒₜ(y), pₜₒₜ(z)).

Question 10

Wir betrachten einen Ball der Masse m, der mithilfe eines Fadens der Länge r eine gleichförmige Kreisbewegung ausführt. Was ist der Impuls p(t) vom Ball und in welche Richtung zeigt der Impulsvektor?

Answer 10

p(t) = mv(t) = mr𝜔(-sin(𝜔t)eₓ + cos(𝜔t)eᵧ), wobei der Impulsvektor in die Richtung des Geschwindigkeitsvektors zeigt und damit tangential zur Kreisbewegung ist.

Question 11

Was besagt Newtons zweites Gesetz?

Answer 11

Die resultierende Kraft, die auf einen Körper wirkt, ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses des Körpers: F = dp/dt

Question 12

Man nehme an, es wirken mehrere Kräfte auf einen Körper, wie wird die resultierende Kraft berechnet?

Answer 12

Man berechnet die Vektorsumme aller einzelnen Kräfte:

F = Σᵢ Fᵢ

Question 13

Was ist ein Kraftstoss und wie wirkt er auf den Impuls?

Answer 13

Kennt man nur Anfangs- und Endimpuls eines Körpers, nicht aber den zeitlichen Verlauf der Kraft F(t), so berechnet man den Kraftstoss:
∫ᵗ¹ₜ₀ (dp/dt) dt = p₀ - p₁ = ∫ᵗ¹ₜ₀ F dt.
In 1 Dimension entspräche das der Fläche unter dem Graphen der Kraft, und man kann sehen, dass sowohl eine kurz aber stark wirkende Kraft die selbe Impulsänderung bewirken kann wie eine schwache aber langanhaltende Kraft.

Question 14

Was sind die vier elementaren Wechselwirkungen (“Grundkräfte”) und weshalb sind sie so wichtig?

Answer 14

Alle Kräfte, die zwischen makroskopischen Körpern wirken, lassen sich auf die elementaren Wechselwirkungen zurück führen:

(1) Gravitation
(2) Elektromagnetische Kraft
(3) Schwache (Kern-)Kraft
(4) Starke (Kern-)Kraft

Question 15

In welcher Beziehung stehen Kraft und Beschleunigung?

Answer 15

Bei konstanter Masse gilt:

F = dp/dt = d/dt {mv(t)} = dv(t)/dt = ma(t), also F = ma.

Question 16

Was besagt das Aktionsprinzip?

Answer 16

Die Beschleunigung eines Körpers, dessen Masse sich mit der Zeit nicht ändert, ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur auf ihn wirkenden resultierenden Kraft:
a(t) = (1 / m) * F(t)

Question 17

Was ist die SI-Einheit der Kraft und wie ist sie definiert?

Answer 17

[F] = N (Newton) := kg * m / s²

Question 18

Was besagt Newtons erstes Gesetz?

Answer 18

Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit (geradlinig gleichförmig), wenn er isoliert (oder frei) ist, d.h., wenn die Resultierende aller auf ihn wirkenden äusseren Kräfte verschwindet. (“Trägheitsprinzip”)

pₜₒₜ = konstant ⇔ dpₜₒₜ/dt = 0 und somit:
dv/dt = 0 ⇒ v = konst.

Question 19

Was ist ein Inertialsystem?

Answer 19

Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem das 1. Newton’sche Axiom gilt, d.h. in einem solchen System ist ein Körper in Ruhe oder bewegt sich geradlinig gleichförmig, falls keine äusseren Kräfte auf ihn einwirken.

Question 20

Was besagt Newtons drittes Gesetz?

Answer 20

Für die Wechselwirkung zwischen zwei Körpern ist jede Einzelkraft nur ein Aspekt einer gegenseitigen Wechselwirkung zwischen den zwei Körpern. Zu jeder Aktion gehört also eine gleich grosse Reaktion, die denselben Betrag besitzt und die in ihr entgegengesetzte Richtung. Es gibt also keine einzelne isolierte Kraft.
Es gilt: F₁ = -F₂: Aktion = Reaktion.

Question 21

Was ist ein “freier Körper”?

Answer 21

Ein freier Körper ist ein Körper, für den die Gesamtwechselwirkung gleich null ist. Da dies eine Idealisierung ist, sagt man auch, ein Körper sei frei wenn er z.B. im Weltraum und sehr weit entfernt von anderen Sternen ist, da die Wechselwirkung mit dem Rest des Universums vernachlässigbar ist.
Ebenso ist ein Körper frei, wenn sich die Wechselwirkungen mit anderen Körpern gegenseitig kompensieren, was zu einer verschwindenden Gesamtwechselwirkung führt.

Question 22

Wie stehen der Antrieb einer Rakete und die Impulserhaltung im Zusammenhang?
(Ohne Raketengleichung)

Answer 22

Eine Rakete erzeugt ihren Schub (= Kraft), indem Treibstoff verbrannt und das dadurch erzeugte Gas nach hinten ausgestossen wird. Die Rakete wird durch den Rückstoss nach vorne getrieben. Dadurch nimmt bei Zunahme der Geschwindigkeit die Masse ab und der Impuls bleibt erhalten:
p(t) = M(t) * v(t)

Question 23

Wie lautet die Raketengleichung und wie wird sie hergeleitet?

Answer 23

Sei v die Geschwindigkeit der Raktete relativ zum externen Beobachter, u die Ausstossgeschwindigkeit des Gases relativ zur Rakete und M(t) die Masse der Rakete zur Zeit t. Wenn das Gas mit einer Geschwindigkeit u relativ zur Rakete ausgestossen wird, bewegt es sich mit der Geschwindigkeit v - u.

Der Gesamtimpuls ist folglich:
p(t + dt) = (M - dm)(v + dv) + dm(v - u)
≈ Mv + Mdv - udm
(dm und dv können weggelassen werden, da vernachlässigbar klein.)

Die Impulsänderung des gesamten Systems während des Zeitintervalls dt ist:
p(t + dt) - p(t) ≈ {Mv + Mdv - udm} - Mv
≈ Mdv - udm
≡ 0, wegen der Impulserhaltung.
Daher gilt:
Mdv = udm ⇒ M(dv/dt) = u(dm/dt).
Da M(dv/dt) = F, folgt, dass auf die Rakete eine Schubkraft F wirkt mit dem Betrag F = u(dm/dt).

Durch Integrieren dieser Gleichung erhalten wir die Raketengleichung für die Geschwindigkeitsänderung:
v(t) - v₀ = -u (ln(M₀ - m) - ln(M₀)).

Question 24

Man betrachte zwei aufeinander platzierte Blöcke: Block 2 steht auf dem Boden und Block 1 auf Block 2. Welche Kräfte wirken im gesamten System?

Answer 24

Auf Block 1 wirken die Gravitationskraft F₁ (Wechselwirkung zwischen Erde und Block 1) sowie die Normalkraft N₁, die Block 2 auf Block 1 ausübt.
Auf Block B wirken die Gravitationskraft F₂ (Wechselwirkung zwischen Erde und Block 2), die Normalkraft vom Boden N₂ sowie die Kraft F₁₂, die Block 1 auf Block 2 ausübt.

Question 25

Man betrachte ein Gewicht, das an zwei Seilen 1 und 2 aufgehängt ist, so dass für die Winkel 𝜑₁, 𝜑₂ zwischen Seilen und Decke 𝜑₁ > 𝜑₂ gilt.
Welche der beiden Seilkräfte F₁ und F₂ ist grösser?

Answer 25

F₁ ist grösser.

Herleitung siehe Skript S. 79.

Question 26

Was besagt das Hooke’sche Gesetz?

Answer 26

Das Hooke’sche Gesetz beschreibt die elastische Verformung von Festkörpern und besagt, dass die Dehnung Δx = (x - x₀) von der wirkenden Kraft F abghängt:
F = k * Δx, wobei k die Federkonstante ist.

Question 27

Welche Elementarkraft liegt der Reibungskraft zugrunde und in welcher Auswirkung?

Answer 27

Reibungskräfte sind elektromagnetische Wechselwirkungen zwischen den Oberflächenatomen der sich berührenden Körper.

Question 28

Wie sind Haft- und Gleitreibungskräfte definiert, sprich was sind die Formeln zur Berechnung ihrer Beträge und wovon sind sie folglich abhängig?

Answer 28

Der Betrag der Haftreibung ist gegeben durch
|Fᵣ| ≤ 𝜇₀ * |Fₙ|, wobei Fᵣ die Reibungskraft, 𝜇₀ der Haftreibungskoeffizient und Fₙ die Normalkraft ist.
Analog dazu die Gleitreibung:
|Fᵣ| = 𝜇 * |Fₙ|, wobei 𝜇 der Gleitreibungskoeffizient ist.
Meist gilt folglich 𝜇₀ > 𝜇.
Die Reibungskraft hängt also nicht von der Kontaktfläche ab, sondern lediglich von der Oberflächenbeschaffenheit und der Normalkraft.

Question 29

Wie berechnet man den Strömungswiderstand (für grosse Geschwindigkeiten) eines Körpers, der durch eine Flüssigkeit gezogen wird?

Answer 29

|Fᵣ| = cᵣ * A * 𝜌/2 * v², wobei:

cᵣ = Widerstandsbeiwert,
A = Querschnittsfläche des Körpers,
𝜌 = Dichte des Gases,
v = Geschwindigkeit relativ zum Medium.

Question 30

Was besagt das Stokes’sche Gesetz?

Answer 30

Mithilfe des Stokes’schen Gesetzes kann der Reibungswiderstand einer Kugel in einem flüssigen Medium berechnet werden. Es gilt:
Fᵣ = -(6𝜋𝜂r) * v, wobei 𝜂 die Viskosität der Flüssigkeit und r den Kugelradius darstellt.

Question 31

Wie ist ein Kraftfeld definiert und wie der Sonderfall des statischen Feldes?

Answer 31

Ein Kraftfeld im Allgemeinen ist die auf ein Probeteilchen wirkende Kraft in Abhängigkeit von Ort (und ggf. der Zeit). Somit ist ein Kraftfeld F gegeben durch:
F(x, y, z, t) = F(r, t).
Beim statischen Feld ist die Kraft nicht zeitabhängig, also:
F(r, t) = F(r) für alle t.

Question 32

Ein Kraftfeld wird ausserdem häufig in der Form

F(r, t) = 𝛾 * f(r, t). Wofür stehen 𝛾 und f?

Answer 32

𝛾 ist hierbei eine Grösse, die sich nur auf das einzelne Probeteilchen bezieht, während f(r, t) die Wirkung der restlichen n - 1 Teilchen beschreibt, so dass man für unterschiedliche Probeteilchen stets nur ein Feld benötigt. Ist 𝛾 = 0, so würde das Probeteilchen nicht an die anderen n - 1 Teilchen koppeln, d.h. es wechselwirkt nicht mit den anderen Teilchen und kann somit nicht von ihnen beeinflusst werden.

Question 33

Wie wird die Coulombkraft in Abhängigkeit vom Radius Fₑ(r) definiert?
Wie leitet man daraus das elektrische Feld E ab?

Answer 33

Fₑ(r) = (1 / 4𝜋𝜀₀) * (qQ / |r|²) * r̂, wobei:
𝜀₀ = elektronische Feldkonstante
r = Radius (|r| = Betrag des Vektors; r̂ = Richtungsvektor)
q = Ladung 1
Q = Ladung 2

Für E(r) gilt:
E(r) = Fₑ(r) / q, also:
E(r) = (1 / 4𝜋𝜀₀) * (Q / |r|²) * r̂ = (1 / 4𝜋𝜀₀) * Q(r / |r|³)

Question 34

Wie berechnet man das elektrische Feld eines Dipols, für den r₁, r₂ die Richtungsvektoren der beiden Ladungen darstellt?

Answer 34

E = ((Q / 4𝜋𝜀₀) * ((r - r₁) / (|r - r₁|³) - ((r - r₂) / (|r - r₂|³)))

Question 35

Wie wird das Kraftfeld der Gravitation zweier Körper mit Massen m und M definiert?

Answer 35

Fₘ = -Gₙ * (mM / |r|²) * r̂, wobei:
Gₙ = Newton'sche Gravitationskonstante
m = Masse 1
M = Masse 2
r = Radius zwischen den beiden Körpern

Question 36

Sei K’ ein beschleunigtes Bezugssystem zu einem Inertialsystem K, das sich mit R(t) von K wegbewege und zusätzlich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit 𝜔 rotiere.
Wie berechnet man die Bewegung (r und v) eines Massepunktes in K?

Answer 36

r = R + r',
v = dR/dt + dr'/dt = V + dr'/dt, wobei:

V = Geschwindikeit, mit der sich der Ursprung O' von K' vom Ursprung O von K entfernt.
r' = Richtungsvektor der Bewegung innerhalb K'

Man muss bei der Berechnung von dr’/dt beachten, dass durch die Rotation nicht nur x’, y’ und z’ von der Zeit abhängen, sondern auch ihre Einheitsvektoren ex’, ey’ und ez’, so dass gilt:
dr’/dt = (dx’/dtex’ + dy’/dtey’ + dz’/dtez’) + (x’dex’/dt + y’dey’/dt + z’dez’/dt), wobei der zweite Term aufgrund der Rotation von K’ gleich der Winkelgeschwindigkeit 𝜔 sein muss, so dass gilt:
v = V + v’ + 𝜔 × r’

Question 37

Sei K’ ein beschleunigtes Bezugssystem zu einem Inertialsystem K, das sich mit R(t) von K wegbewege und zusätzlich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit 𝜔 rotiere.
Wie berechnet man die Beschleunigung a eines Massepunktes in K?

Answer 37

a = a’ + A + 2𝜔 × v’ + 𝜔 × (𝜔 × r’), wobei:

A = Beschleunigung von O’ bezüglich O
a’ = Beschleunigung von m in K’
-2𝜔 × v’ =: Rotation von K’, Coriolis-Beschleunigung
𝜔 × (𝜔 × r’) =: Rotation von K’, Zentripetal-Beschleunigung

Question 38

Welche drei Scheinkräfte existieren und wie sind sie definiert?

Answer 38

Trägheitskraft = -mA
Corioliskraft = -2m (𝜔 × v')
Zentrifugalkraft = -m𝜔 × (𝜔 × r')

Question 39

Weswegen wirkt am Äquator keine Corioliskraft?

Answer 39

Da der Geschwindigkeitsvektor v’ parallel zur Winkelgeschwindigkeit 𝜔 ist, und somit -2m (𝜔 × v’) = 0.

Question 40

Was bedeutet Schwerelosigkeit und wie kann man Schwerelosigkeit durch Scheinkräfte erklären?

Answer 40

Schwerelosigkeit bedeutet, dass keine Kraft der Gravitationskraft entgegenwirkt, aber nicht, dass keine Gravitationskraft wirkt!
Ein Astronaut in einem Satellit ist schwerelos, da er mit derselben Beschleunigung zur Erde fällt wie der Satellit. Ebenso ist ein Beobachter in einem freifallenden Aufzug schwerelos, da die Beschleunigung des Aufzuges -g ist und somit die Normalkraft durch den Aufzugsboden verschwindet.

Question 41

Was ist der Unterschied zwischen echten Kräften und Scheinkräften?

Answer 41

Echte Kräfte hängen im Vergleich zu Scheinkräften nicht vom Wahl des Bezugssystems ab.