Schwingungen Flashcards
Was ist ein schwingungsfähiges System?
Ein schwingungsfähiges System ist ein physikalisches System, das in der Lage ist, eine gewisse Menge an Energie aufzunehmen, ohne dabei zerstört zu werden. Diese verbleibt eine gewisse Zeit darin und kommt dort in zwei unterschiedlichen Formen vor (meistens potentielle und kinetische Energie), zwischen denen sie periodisch oszilliert.
Wie lautet die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators und was ist ihre Lösung?
Die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators lautet: ẍ + 𝜔₀²x = 0.
Dies ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, dessen Lösung eine Linearkombination der folgenden beiden komplexen Exponentialfunktionen ist:
x(t) = C₁e^(i𝜔₀t) + C₂e^(-i𝜔₀t).*
Hier müssen die beiden komplexen Konstanten C₁ und C₂ so gewählt werden, dass die Auslenkung x(t) stets reell ist. Durch algebraische Umformung (s. Skript S.265) erhalten wir schlussendlich die allgemeinste Lösung:
x(t) = Acos(𝜔₀t + 𝛿’),
wobei A die Amplitude und 𝛿’ die reelle Phase darstellt.
*Dieses Ergebnis resultiert aus der Tatsache, dass die Exponentialfunktion zweifach abgeleitet werden kann und trotzdem gleich bleibt (in Bezug auf die Differentialgleichung), sowie der Tatsache, dass 𝜔₀t einen Winkel darstellt und somit e^i𝜔₀t der Verschiebung um einen bestimmten Winkel darstellt, siehe dazu Wikipedia: Eulersche Formel.
Gegeben sei ein sich sinusförmig bewegendes Pendel sowie eine sich im Kreis drehende Kugel, deren Projektionen (kompliziert für: Schatten) auf einer Wand verglichen werden.
Was kann man beobachten und wie kann man diese Beobachtung begründen?
Man beobachtet: Für kleine Auslenkungen ist die Pendelbewegung gleich der Projektion einer Kreisbewegung.
Man kann die Kreisbewegung als eine zweidimensionale Bewegung betrachten, die durch einen Winkel 𝜑 parametrisiert wird. Die Koordinaten der Kugel sind somit gleich:
x(t) = Rcos𝜑(t) = Rcos𝜔t und y(t) = Rsin𝜑(t) = Rsin𝜔t,
wobei R der Radius des Kreises ist.
Da die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit den Kreis umläuft, gilt: 𝜑(t) = 𝜔t.
Betrachtet man nun die Bewegung des Pendels, und zwar den Teil der Bewegung auf der y-Achse, so erhält man y(t) = Asin(𝜔t + 𝛿), wobei A die Amplitude, 𝜔 die Kreisfrequenz und 𝛿 die Phase ist, was ebenfalls eine harmonische Schwingung darstellt.
Folglich kann man harmonische Bewegungen als Summe von Kosinus- und Sinusfunktionen ausdrücken.
Durch algebraische Umformungen (Skript S.268) gilt:
sin(𝛼 + 𝛽) = sin𝛼cos𝛽 + cos𝛼sin𝛽
⇒ x(t) = Bsin𝜔t + Ccos𝜔t,
wobei B = Acos𝛿 und C = Asin𝛿 neue Konstanten (d.h. Amplituden) sind, die die ursprüngliche Phase enthalten.
(Im Skript S.267 sieht man sehr schön an einem Diagramm, wie Kreisbewegung und Sinuskurve im Zusammenhang stehen.)
Was ist die Periode einer Schwingung und was ist die Periode der Sinusfunktion?
Die Periode T einer Schwingung ist definiert als die für eine vollständige Schwingung benötigte Zeit.
Da die Sinusfunktion dies bei 2𝜋 erreicht, gilt für die Periode T = 2𝜋/𝜔.
Was ist die Frequenz einer Schwingung und welches ist ihre Einheit?
Die Frequenz 𝜈 ist die Anzahl der Schwingungen pro Zeit und es gilt:
𝜈 = 1/T = 𝜔/2𝜋.
Die Einheit ist [𝜈] := 1/s = 1Hz (Hertz).
Was ist die Amplitude einer Schwingung?
Die Amplitude entspricht der maximalen Entfernung vom Ursprung und es gilt: -A ≤ x(t) ≤ A.
Betrachte eine sinusförmige Schwingung. Wie stehen Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Schwingung in Zusammenhang zur Amplitude?
Die Auslenkung der Sinusfunktion ist gegeben durch:
x(t) = Asin(𝜔t + 𝛿).
Die erste zeitliche Ableitung liefert die Geschwindigkeit
v(t) = A𝜔cos(𝜔t + 𝛿)
und die zweite zeitliche Ableitung die Beschleunigung
a(t) = -A𝜔²sin(𝜔t + 𝛿).
Somit sieht man, dass die Geschwindigkeit maximal ist, wenn die Auslenkung verschwindet und umgekehrt (ist intuitiv auch gut vorstellbar, z.B. beim Pendel).
Die Beschleunigung verhält sich ebenfalls wie die Auslenkung sinusförmig, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen. (Ebenso stelle man sich ein Pendel vor: ist es am höchsten Punkt, wirkt eine maximale Beschleunigung in die entgegengesetzte Richtung.)
Wie kann man eine Schwingung als Funktion z(t) in der komplexen Ebene beschreiben?
z(t) = Ae^(i𝜔t)
(Dies folgt aus dem Zusammenhang der Entwicklung der Taylorreihe zu sin und cos und den Similaritäten zur Exponentialfunktion. Vgl. Euler-Formel (e^i𝜋 + 1 = 0).)
Wie ist die totale Energie eines harmonischen Oszillators definiert?
Die totale Energie entspricht:
E(tot) = 1/2m𝜔²A²
(Also der kinetischen Energie mal der Amplitute, sprich der höchsten Auslenkung)
Was gilt für die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators im zeitlichen Mittel?
Im zeitlichen Mittel verteilt sich die Gesamtenergie zu gleichen Teilen auf die potentielle und die kinetische Energie, so dass gilt:
〈E(kin)〉 = 〈E(pot)〉 = 1/2(E(tot))
Wie lautet die Differentialgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators?
ẍ + 2𝜌ẋ + 𝜔₀²x = 0, wobei 𝜌 := 𝜅 / 2m der Dämpfungskoeffizient mit der Dämpfungskonstante 𝜅 bezeichnet.
Welche drei Arten von Dämpfungen unterscheiden wir, wie sind sie charakterisiert und was gilt für die Oszillationen in den drei Fällen?
- Schwache Dämpfung (𝜌 < 𝜔₀): Die Amplitude verringert sich exponentiell und es gilt lim(t → ∞) x(t) = 0. Trotzdem verschwindet die Oszillation des Wagens nie, sie wird einfach unendlich klein.
- Starke Dämpfung (𝜌 > 𝜔₀): Die Dämpfung ist so stark, dass es zu keiner ganzen Schwingung kommen kann, so dass die Funktion nach einfacher Richtungsänderung auf den Nullwert “zukriecht”. Hier gilt ebenfalls lim(t → ∞) x(t) = 0.
- Kritische Dämpfung / Asympt. Grenzfall (𝜌 = 𝜔₀): In diesem Fall reicht es gerade noch für eine ganze Oszillation aus, es gilt folglich 𝜔 → 0 und T → ∞. Auch hier gilt aufgrund der Dämpfung lim(t → ∞) x(t) = 0.
Wie ist die Reibungsleistung einer gedämpften Schwingung definiert?
Wir betrachten die zeitliche Änderung der Gesamtenergie der Oszillation, welche gleich der Verlustleistung durch Reibung Pᵣ ist:
d/dt (E(kin) + E(pot)) = Pᵣ
Was ist der Q-Faktor und wie ist er definiert? Wozu ist er nützlich?
Der Q-Faktor beschreibt die relative Abnahme der Energie während einer Periode:
Q := 2𝜋 (Eₜₒₜ / (Eₜₒₜ(t) - Eₜₒₜ(t + T)))
Was ist Hauptmerkmal einer erzwungenen Schwingung?
Bei einer erzwungenen Schwingung wirkt eine länger anhaltende äussere Kraft, die die Schwingung entweder anregt oder abschwächt.
