Arbeit und Energie Flashcards
Was ist die Arbeit und wie ist sie definiert?
Was gilt, wenn die Kraft parallel bzw. senkrecht zum Weg wirkt?
(Für gleichmässiges Kraftfeld)
Verschiebt sich der Angriffspunkt einer Kraft F längs eines geraden Wegstückes s, so leistet diese Kraft die Arbeit:
W = F * s = F∥ * s =|F∥| * s = F * s * cos(𝛼)
Steht F parallel zu s, so ist W = F * s; steht F senkrecht auf s, so ist W = 0.
Wie ist die Arbeit definiert, falls die Kraft vom Ort abhängt oder ihr Angriffspunkt auf einem gekrümmten Weg 𝛤 von r₁ nach r₂ verschoben wird?
Wir müssen in diesem Fall die Kraft über die Wegstrecke integrieren:
W = ∫ʳ²ᵣ₁ F * ds = ∫ʳ²ᵣ₁ |F∥| * ds,
wobei F die Summe aller äusseren Kräfte beschreibt.
Welches ist die Einheit der Arbeit und wie ist sie definiert?
Welche andere physikalische Grösse benützt die gleiche Einheit?
[F] := 1Nm = 1J (Joule) = (m² * kg) / s²
Die Energie wird ebenso in Joule berechnet.
Was ist die Leistung und wie ist sie definiert?
Was ist ihre Einheit?
Die Leistung ist die pro Zeit geleistete Arbeit:
P = dW/dt
[P] := 1W (Watt) = (m² * kg) / s³ = J / s = Nm / s
Wie berechnet man die Leistung, falls der Angriffspunkt der Kraft sich mit einer Geschwindigkeit v verschiebt?
P = (F * ds) / dt = F * v
Was ist die kinetische Energie und wie ist sie definiert?
Die kinetische Energie T eines Massenpunktes mit Masse m und Geschwindigkeit v ist gleich:
T := 1/2 * mv² = p² / 2m
Gegeben sei ein Körper mit konstanter Masse m. Wie formt man die Gleichung für die Arbeit des Körpers in die Gleichung der kinetischen Energie des Körpers um?
W = ∫ʳ²ᵣ₁ F * dr
= ∫ʳ²ᵣ₁ m * dv’/dt * dr
= ∫ʳ²ᵣ₁ m * dv’/dt * v’ dt
⇒ W = m * ∫ᵛ²ᵥ₁ v’ * dv’
= m/2 [v’²]ᵛ²ᵥ₁ = m/2 * v₂² - m/2 * v₁²
Beachte: Diese Gleichung gilt für beliebige Kraftfelder!
Welche Arbeit leistet ein Körper in einer gleichförmigen Kreisbewegung?
Keine, da v konstant ist, also ist auch v² konstant und somit T(r₂) - T(r₁) = W = 0.
(Die kinetische Energie ist überall gleich.)
Sei U ein konservatives Kraftfeld. Wie berechnet man die Arbeit, die das Kraftfeld (!) beim Verschieben eines Massenpunktes von r₁ nach r₂ verrichtet?
Die Arbeit ist gegeben durch W = ∫ʳ²ᵣ₁ F * dr.
Dies entspricht der Integration über den Gradienten:
W = - ∫ʳ²ᵣ₁ (𝛁U) * dr = - ∫ʳ²ᵣ₁ dU = U(r₁) - U(r₂).
Beachte, dass das Vorzeichen negativ wird, da dies die vom Kraftfeld U geleistete Arbeit bezeichnet.
Betrachte man eine von aussen zum Kraftfeld entgegengesetzte Kraft (z.B. das Hochheben eines Körpers im Gravitationsfeld), so wird das Vorzeichen positiv.
Wie ist das Potential und wie die potentielle Energie definiert?
Die Funktion U(r) wird als Potential bezeichnet.
(Beachte, dass man U(r) durch integrieren des Gradienten erhält).
Die potentielle Energie beschreibt die Differenz im Potential zweier Punkte:
E(pot) = U₂₍₁₎ = U(r₂) - U(r₁) = - ∫ʳ²ᵣ₁ F * dr.
Wie stehen die verrichtete Arbeit und die potentielle Energie im Verhältnis zueinander?
Eine vom Kraftfeld auf dem Weg von r₁ nach r₂ geleistete positive Arbeit führt zu einer Verringerung der potentiellen Energie.
Wie kann man mithilfe des Stokes’schen Satzes die Wegunabhängigkeit der Arbeit im konservativen Kraftfeld U beweisen?
∮ F * dr = -∮ (𝛁U) * dr = -∯ rot(𝛁U) * dA = 0,
wobei rot(𝛁U) = 0.
Bewege sich ein Körper durch ein konservatives Kraftfeld. Wie ändert sich seine potentielle Energie?
dE(pot) = (𝜕E(pot)/𝜕x)dx + (𝜕E(pot)/𝜕y)dy + (𝜕E(pot)/𝜕z)dz.
Dies kann man mit dem Nabla-Operator ausdrücken:
dE(pot) = 𝛁E(pot) * (dx, dy, dz) = 𝛁E(pot) * dr
Wie stehen der Gradient und die Änderung der potentiellen Energie im Zusammenhang?
Der Gradient zeigt in die Richtung der maximalen Änderung der potentiellen Energie:
- Falls Verschiebung dr in selbe Richtung wie der Gradient zeigt, ist die Änderung der PE positiv;
- Falls Verschiebung dr senkrecht zum Gradienten zeigt, ist die Änderung der PE gleich null;
- Falls Verschiebung dr in entgegengesetzte Richtung wie der Gradient zeigt, ist die Änderung der PE negativ.
Was sind Äquipotentiallinien?
Entlang Äquipotentiallinien bzw. -flächen ist die potentielle Energie konstant:
E(pot) (r) = E(pot) (x, y, z) = konst.
Körper, die sich auf diesen Linien / Flächen bewegen, besitzen also eine konstante potentielle Energie.
