Vektoranalysis Flashcards
Was ist eine Jacobi-Matrix?
Eine Jacobi-Matrix ist eine Matrix zur Auflistung aller partiellen Ableitungen (ersten Grades). Sind mehrere Funktionen fᵢ(x) gegeben, die an verschiedenen Punkten xⱼ abgeleitet werden soll, so definiert man die Jacobi-Matrix:
J(x) = (𝜕fᵢ / 𝜕xⱼ)ᵢ,ⱼ ₌ ₁, …, ₙ
Wie sieht der “Teil” der Jacobi-Matrix für 𝜕(y, z)/𝜕(u, v) aus?
(𝜕y/𝜕u)(𝜕z/𝜕v) - (𝜕y/𝜕v)(𝜕z/𝜕u)
Was ist der Raumwinkel 𝛺 und was ist seine Einheit?
Der Raumwinkel 𝛺 entspricht einer Projektion der Fläche A auf die Einheitskugel. Er wird in Steradiant (sr) angegeben, wobei 1sr auf der Oberfläche einer Kugel mit r = 1m eine Fläche von 1m² umschliesst.
Welches ist der maximal mögliche Raumwinkel 𝛺 und wie erhält man diesen Betrag?
Der maximal mögliche Raumwinkel 𝛺 erhält man, indem man den infinitesimalen Raumwinkel d𝛺 - gegeben durch dA/r² = d * cos(𝜗) * d𝜑 - über die ganze Kugel integriert.
Entsprechend gilt:
𝛺max = ∫¹₋₁ d * cos(𝜗) ∫₀²ᴾᴵ d𝜑 = 2 * 2𝜋 = 4𝜋.
Wie gross ist der Radius 𝜌 eines Kleinkreises für einen vorgegebenen Polarwinkel 𝜗?
𝜌 = r * sin(𝜗)
Was ist ein Spatprodukt und wozu braucht man es?
Das Skalarprodukt aus zwei Vektoren (x × y) · z nennt sich das Spatprodukt. Man braucht es zur Berechnung von Volumen, z.B. für ein infinitesimales Volumenelement dV definiert man:
dV = (dx × dy) · dz.
Was ist der Gradient eines Feldes?
Der Gradient 𝛁u eines Feldes u ist definiert als die partielle Ableitung jedes Vektors an einem Punkt P im Feld u:
grad u := 𝛁u = (𝜕u/𝜕x, 𝜕u/𝜕y, 𝜕u/𝜕z) für einen P in einem 3D-Feld.
Die Vektoren des Gradienten zeigen also immer tangential zum Feld und in die Richtung der grössten Änderung. Es macht aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld. (ähnlich wie bei einer Funktion mit “Skalarwerten” die Ableitung die jeweilige Steigung (“Vektor”) angibt.)
Was sind Niveauflächen und wie steht der Gradient des Feldes der Niveaufläche gegenüber?
Niveauflächen sind Flächen in einem Feld u mit u = konstant, d.h. die Skalarwerte des Feldes sind alle gleich auf einer Niveaufläche.
Der Gradient des Feldes steht demnach senkrecht auf der Niveaufläche und zeigt in die Richtung der grössten Änderung.
Sei v das Vektorfeld des Gradienten eines skalaren Feldes, also: v = 𝛁u.
Wie ist das Linienintegral ∮ für eine Strecke von r₁ nach r₂ über Richtungsvektoren dsᵢ definiert?
∫ᵣ₁ʳ² v * ds
= ∫ᵣ₁ʳ² 𝛁u * ds
= ∫ᵣ₁ʳ² du
= u₁ - u₂.
Somit gilt: ∮ 𝛁u * ds = 0
Erklärung:
Das Integral ist also in diesem Fall unabhängig vom Weg und nur gegeben durch den Unterschied in den Skalarwerten von u. Da das Vektorfeld an sich ja schon der Gradient von u ist, erhält man beim Integrieren wieder den “Ursprungswert” von u.
Sei dA eine infinitesimale Fläche. Wie wird der Fluss d𝛷 durch dA definiert?
Wie folgt daraus der gesamte Fluss 𝛷 durch die gesamte Oberfläche A?
Der Fluss d𝛷 eines Vektorfeldes durch dA ist gegeben durch:
d𝛷 = F * dA = |F||dA|cos(𝜗),
wobei dA ein Vektor ist, der dem infinitesimalen Flächenelement dA entspricht und 𝜗 dem Winkel zwischen F und dA entspricht. Der Fluss ist ein Skalarwert.
Durch Integrieren über die gesamte Fläche A und das gesamte Feld F erhält man:
𝛷 = ∯ F * dA
Was ist die Divergenz eines Feldes und wozu braucht man sie?
Was sind Quellen und Senken eines Feldes bzw. wann ist ein Feld quellenfrei?
Die Divergenz beschreibt für ein infinitesimales Volumenelement dV, wie sehr die Vektoren in diesem Feld auseinanderstreben (“divergieren”).
Es macht also aus einem Vektorfeld wieder ein Skalarfeld und ist definiert als:
div v := 𝛁v = lim(𝛥V → 0) 1/𝛥V * ∮ v * dA = dv/dV,
für ein Vektorfeld v.
(z.B. für einen gesamten Fluss 𝛷 eines Vektorfeldes v aus einem kleinen Volumen dV heraus, ist die Divergenz div 𝛷 = d𝛷/dV. Ist sie positiv, so strömt mehr aus dem Volumen heraus, als herein (“Quelle”), ist sie negativ, so strömt mehr hinein, als heraus (“Senke”). Ist die Divergenz null, so nennt man das Feld “quellenfrei”.)
Was besagt der Gaus’sche Integralsatz?
Wozu ist es nützlich, diesen Satz zu kennen?
Der Gaus’sche Integralsatz besagt:
∯ v * dA = ∰ div v dV := ∰ 𝛁v dV
Man kann also ein Volumenintegral durch ein Oberflächenintegral ersetzen. Dies erspart in gewissen Problemen viel Arbeit.
(Man kann z.B. anstatt der Anzahl Wasserquellen in einem gegebenen Volumen (Divergenz) auch zeigen, wie viel Wasser durch eine gegebene Oberfläche strömt. Diese zwei Angaben sind laut dem Satz äquivalent.)
Was ist die Zirkulation Z und wie ist sie definiert?
Was gilt für ein Vektorfeld v, wenn Z > 0, Z < 0 und Z = 0?
Die Zirkulation ist definiert als:
Z := ∮ v * ds
und bezeichnet für ein Vektorfeld v in einer offenen Fläche A das Umlaufintegral um die Umrandung der Fläche A.
Es gibt die Rotation von v an.
(Zur Vorstellung: rotiert das Vektorfeld, so stehen die Vektoren entweder gegen oder mit dem Uhrzeigersinn. Nimmt man nun das Umlaufintegral und bewegt sich dabei im gleichen Sinn wie die Vektoren, so erhält man eine positive Zirkulation.)
Daraus folgt:
Z > 0 ⇒ Rotation gegen den UZS.
Z < 0 ⇒ Rotation im UZS.
Z = 0 ⇒ Keine Rotation.
Durch welche Operation berechnet man die Rotation eines Vektorfeldes V?
rot v := 𝛁 × v
= lim(𝛥A → 0) (∮ v * ds / 𝛥A) * (𝛥A / |𝛥A|)
= dZ/dA * (dA / |dA|)
Man betrachte zwei sich berührende Quadrate der Fläche 𝛥A. Was muss man bei der Berechnung der totalen Zirkulation Z₁ + Z₂ beachten?
Bei der totalen Zirkulation muss man beachten, dass sich die Beiträge der jeweiligen Zirkulationen an den gemeinsamen Kanten kompensieren, da dort die Richtungsvektoren entgegengesetzt und gleich gross sind:
(v * ds₁) + (v * -ds₁) = 0.
