Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas Flashcards
variável aleatória (v.a.)
função real (mensurável) em Ω:
ω ∈ Ω —–> X(ω) ∈ R
tal que para todo B ∈ ℬ se tem X-1(B) ∈ 𝒜 (X diz-se (𝒜-ℬ)-mensurável)
variável aleatória multidimensional
X=(X1, X2, …, Xd)
X: Ω —–> R^d
tal que para B ∈ ℬ(R^d) se tem X-1(B) ∈ 𝒜
X em R^d (d>1) (nome usual)
vetor aleatório
v.a. (designação usual)
X, Y, Z, T, ….
valores particulares das v.a. (designação usual)
x, y, …
Probabilidade induzida (probabilidade de X assumir uma valor do acontecimento B)
[ PX (X maiúsculo em baixo) ]
PX (B) = PX ({x : x∈B}) = P(X∈B)
v.a. X de (Ω, 𝒜, P) induz uma medida de probabilidade PX no espaço (R, ℬ)
função de distribuição (f.d)
[ FX (X maiúsculo em baixo) ]
FX(x) = P(X<=x) (∀ x∈R)
propriedades de f.d.
(qq. função com estas características é uma função de distribuição)
(1) 0<=F(x)<=1
(2) F(-oo) := lim (x->-oo) F(x) = 0
F(oo) := lim (x->oo) F(x) = 1
(3) F é crescente
(4) F é contínua à direita
(5) P(X=x0) = F(x0) - lim (ε->0) F(x0-ε)
variável aleatória discreta X
X toma um número finito ou infinito numerável de valores distintos x1, x2, …
v.a.d. x1, x2, … (nome)
pontos de massa / pontos de probabilidade
função de probabilidade de X
-> v.a. discreta
f(x) = P(X=x) = P(X=xi), para i=1,2,3,… | 0, caso contrário
função de probabilidade de X sse
(1) f(xi) >=0, i=1, 2, …
(2) ∑f(xi) = 1
distribuição da v.a.d. X
{(xi, f(xi))m i=1,2,…}
X v.a.d
F(x) =
P(X<=x) = ∑f(xi)
X v.a.d
f(x) =
F(xi) - P(X<xi) i=1, 2, …
variável aleatória contínua
X toma valores num conjunto não numerável
função densidade de probabilidade (f.d.p)
f não negativa tal que a f.d. de X v.a.c se possa escrever: F(X) = ∫ (-oo, x) f(t) dt
X v.a. absolutamente contínua
F(x) = ∫ (-oo, x) f(t) dt
P(X=x) = 0
função distributiva com X v.a.c. (P(X=x))
F é contínua
P(X=x) = F(x) - lim (ε->0) F(x-ε) = 0
P(a<X<b)
= ∫ (a, b) f(x) dx
função densidade de probabilidade (sse ! + propriedades)
(!1) f(x)>=0 ∀x
(!2) ∫(-oo, oo) f(x) dx = 1
(3) P(x < X < x+δ) ≈ f(x) δ
(4) f(x) = dF/dx (x)
usando a probabilidade induzida, temos que: F(x) = …
… = PX((-oo,x])
conjunto de descontinuidade de f.d.
vazio, finito, infinito numerável
X (v.a.) -> F (f.d.)
Y (v.a.) -> G (f.d.)
Se F(x) = G(x) ∀x, então P(X∈B) = P(Y∈B) <-> PX(B)=PY(B)
