Nozioni Preliminari

Question 1

AxB

Answer 1

Prodotto cartesiano
Insieme delle coppie ordinate (a, b), dove a è un qualsiasi elemento dell’insieme A e b un qualsiasi elemento dell’insieme B

Question 2

Funzione (o applicazione)

Answer 2

Una funzione (o applicazione) fra due insiemi A e B è una legge che associa a ciascun elemento di A (dominio) uno e un solo elemento di B (codominio).

Question 3

b = f (a)

Answer 3

b è immagine di a tramite f

Question 4

Im f o f (A)

Answer 4

L’immagine di f è l’insieme degli elementi di B che sono immagine, tramite f, di elementi di A.

Question 5

Quando due funzioni sono uguali?

Answer 5

Due funzioni f: A → B e g: A → B (con lo stesso dominio e codominio) sono uguali (f = g) se e solo se f (a) = g (a) per ogni a ∈ A.

Question 6

id_A: A → A

Answer 6

Funzione identità di A
Associa a ogni elemento di A se stesso.

Question 7

f^-1 (B)

Answer 7

Immagine inversa di B tramite f
Insieme degli elementi di A la cui immagine, tramite f, appartiene a B.
f^-1 (B) = A per ogni f: A → B

f^-1 (B) ≠ f^-1: B → A !!
- associa a un sottoinsieme del codominio un sottoinsieme del dominio
- esiste sempre

Question 8

Definizione di polinomio

Answer 8

Un polinomio a coefficienti reali in una variabile è una funzione p: R → R.

p(t) = a_n t^n + a_n-1 t^n-1 + … + a_0

• R: insieme dei numeri reali
• n ∈ N: numero naturale, grado del polinomio
• a_n, …, a_0 ∈ R: numeri reali, coefficienti del polinomio
• a_0: termine noto
• a_n ≠ 0: coefficiente direttivo

Question 9

Che cosa sono i polinomi di grado zero?

Answer 9

Sono le costanti.

Question 10

R[t]

Answer 10

Insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali in una variabile.

Question 11

R_n[t]

Answer 11

Insieme dei polinomi di grado minore o uguale a n.

Question 12

f |_A_1

Answer 12

Restrizione di f ad A_1.
Sia f: A → B una funzione da A a B. Se A_1 è un sottoinsieme di A, la funzione f determina anche una legge che associa a ogni elemento di A_1 un elemento di B, cioè una funzione da A_1 a B. Questa si chiama restrizione di f ad A_1.

Question 13

Funzione suriettiva

Answer 13

Funzione tale che ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

Im f = B

Se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

Question 14

Funzione iniettiva

Answer 14

Funzione tale che ogni elemento del codominio è immagine di al più un elemento del dominio.

Question 15

Funzione biiettiva (o biunivoca)

Answer 15

Funzione che associa a ogni elemento del codominio uno e un solo elemento del dominio.
Ciò significa che dominio e codominio hanno la stessa cardinalità.
Le funzioni biiettive sono anche invertibili.

Se ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A.

Question 16

f^-1: B → A

Answer 16

Funzione inversa (biiettiva), dove a ∈ A è l’unico elemento tale che f (a) = b.

f^-1 (B) ≠ f^-1: B → A !!
- è una funzione definita sul codominio
- associa a ciascun elemento del codominio uno e un solo elemento del dominio
- esiste solo quando la funzione è invertibile/biiettiva

Question 17

g o f: A → C

Answer 17

Composizione delle funzioni f e g

f: A → B
g: B → C
(g o f) (a) = g (f (a))

Funzione che associa a ciascun elemento di A uno e un solo elemento di C

Question 18

A ⇒ B

Answer 18

“A implica B”
“Se succede A, allora succede B.”
“A è condizione sufficiente perché accada B; B è condizione necessaria perché accada A.”

Question 19

A ⇔ B

Answer 19

“A è equivalente a B.”
“A se e solo se B.”
“A è condizione necessaria e sufficiente perché accada B, e viceversa.”

Question 20

∃!

Answer 20

“esiste unico”

Question 21

Operazioni definite in tutti gli insiemi numerici e relative proprietà

Answer 21

Somma e prodotto
(1) proprietà associativa della somma: ∀a,b,c (a+b)+c = a+(b+c)
(2) esistenza dell’elemento neutro per la somma: ∃0: ∀a a+0 = 0+a = a
(3) esistenza dell’opposto: ∃-a: ∀a a+(-a) = (-a)+a = 0
(4) proprietà commutativa della somma: ∀a,b a+b = b+a
(5) proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto: ∀a,b,c a(b+c) = a·b+a·c
(6) proprietà associativa del prodotto: ∀a,b,c a(b·c) = (a·b)c
(7) esistenza dell’elemento neutro per il prodotto: ∃1: ∀a a·1 = 1·a = a
(8) esistenza dell’inverso: ∃a^-1: ∀a a·a^-1 = a^-1·a = 1
(9) proprietà commutativa del prodotto: ∀a,b a·b = b·a

Question 22

Enuncia il teorema di Talete

Answer 22

Tre rette parallele tagliano rispettivamente su due rette trasversali coppie di segmenti di lunghezza proporzionale.

Question 23

Enuncia il teorema di Pitagora

Answer 23

L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Question 24

Che cosa è il grafico di un polinomio di primo grado f (x) = ax + b? E viceversa?

Answer 24

Sempre una retta.
Ogni retta (tranne quelle parallele all’asse delle ordinate) è il grafico di un polinomio di primo grado.

Question 25

Che cosa è l’equazione ax+by+c = 0?

Answer 25

La sua soluzione rappresenta una retta del piano cartesiano.

Question 26

Che cosa è l’equazione ax+by+cz+d = 0?

Answer 26

La sua soluzione rappresenta un piano dello spazio.

Question 27

Qual è l’equazione di un’iperbole?

Answer 27

(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1

Question 28

Qual è l’equazione di un’ellisse?

Answer 28

(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1

Question 29

Formula circonferenza

Answer 29

C = 2πr

Question 30

Formula area del cerchio

Answer 30

A = πr^2

Question 31

Formula fondamentale della trigonometria

Answer 31

sin^2 x + cos^2 x = 1

Question 32

sin(x+2π) = ?
cos(x+2π) = ?

Answer 32

sin(x+2π) = sin(x)
cos(x+2π) = cos(x)

Question 33

sin(x+π) = ?
cos(x+π) = ?

Answer 33

sin(x+π) = -sin(x)
cos(x+π) = -cos(x)

Question 34

sin(x+π/2) = ?
cos(x+π/2) = ?

Answer 34

sin(x+π/2) = cos(x)
cos(x+π/2) = -sin(x)

Question 35

sin(-x) = ?
cos(-x) = ?

Answer 35

sin(-x) = -sin(x)
cos(-x) = cos(x)