Nozioni Preliminari Flashcards
AxB
Prodotto cartesiano
Insieme delle coppie ordinate (a, b), dove a è un qualsiasi elemento dell’insieme A e b un qualsiasi elemento dell’insieme B
Funzione (o applicazione)
Una funzione (o applicazione) fra due insiemi A e B è una legge che associa a ciascun elemento di A (dominio) uno e un solo elemento di B (codominio).
b = f (a)
b è immagine di a tramite f
Im f o f (A)
L’immagine di f è l’insieme degli elementi di B che sono immagine, tramite f, di elementi di A.
Quando due funzioni sono uguali?
Due funzioni f: A → B e g: A → B (con lo stesso dominio e codominio) sono uguali (f = g) se e solo se f (a) = g (a) per ogni a ∈ A.
id_A: A → A
Funzione identità di A
Associa a ogni elemento di A se stesso.
f^-1 (B)
Immagine inversa di B tramite f
Insieme degli elementi di A la cui immagine, tramite f, appartiene a B.
f^-1 (B) = A per ogni f: A → B
f^-1 (B) ≠ f^-1: B → A !!
- associa a un sottoinsieme del codominio un sottoinsieme del dominio
- esiste sempre
Definizione di polinomio
Un polinomio a coefficienti reali in una variabile è una funzione p: R → R.
p(t) = a_n t^n + a_n-1 t^n-1 + … + a_0
- R: insieme dei numeri reali
- n ∈ N: numero naturale, grado del polinomio
- a_n, …, a_0 ∈ R: numeri reali, coefficienti del polinomio
- a_0: termine noto
- a_n ≠ 0: coefficiente direttivo
Che cosa sono i polinomi di grado zero?
Sono le costanti.
R[t]
Insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali in una variabile.
R_n[t]
Insieme dei polinomi di grado minore o uguale a n.
f |_A_1
Restrizione di f ad A_1.
Sia f: A → B una funzione da A a B. Se A_1 è un sottoinsieme di A, la funzione f determina anche una legge che associa a ogni elemento di A_1 un elemento di B, cioè una funzione da A_1 a B. Questa si chiama restrizione di f ad A_1.
Funzione suriettiva
Funzione tale che ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
Im f = B
Se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
Funzione iniettiva
Funzione tale che ogni elemento del codominio è immagine di al più un elemento del dominio.
Funzione biiettiva (o biunivoca)
Funzione che associa a ogni elemento del codominio uno e un solo elemento del dominio.
Ciò significa che dominio e codominio hanno la stessa cardinalità.
Le funzioni biiettive sono anche invertibili.
Se ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A.
f^-1: B → A
Funzione inversa (biiettiva), dove a ∈ A è l’unico elemento tale che f (a) = b.
f^-1 (B) ≠ f^-1: B → A !!
- è una funzione definita sul codominio
- associa a ciascun elemento del codominio uno e un solo elemento del dominio
- esiste solo quando la funzione è invertibile/biiettiva
g o f: A → C
Composizione delle funzioni f e g
f: A → B
g: B → C
(g o f) (a) = g (f (a))
Funzione che associa a ciascun elemento di A uno e un solo elemento di C
A ⇒ B
“A implica B”
“Se succede A, allora succede B.”
“A è condizione sufficiente perché accada B; B è condizione necessaria perché accada A.”
A ⇔ B
“A è equivalente a B.”
“A se e solo se B.”
“A è condizione necessaria e sufficiente perché accada B, e viceversa.”
∃!
“esiste unico”
Operazioni definite in tutti gli insiemi numerici e relative proprietà
Somma e prodotto
(1) proprietà associativa della somma: ∀a,b,c (a+b)+c = a+(b+c)
(2) esistenza dell’elemento neutro per la somma: ∃0: ∀a a+0 = 0+a = a
(3) esistenza dell’opposto: ∃-a: ∀a a+(-a) = (-a)+a = 0
(4) proprietà commutativa della somma: ∀a,b a+b = b+a
(5) proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto: ∀a,b,c a(b+c) = a·b+a·c
(6) proprietà associativa del prodotto: ∀a,b,c a(b·c) = (a·b)c
(7) esistenza dell’elemento neutro per il prodotto: ∃1: ∀a a·1 = 1·a = a
(8) esistenza dell’inverso: ∃a^-1: ∀a a·a^-1 = a^-1·a = 1
(9) proprietà commutativa del prodotto: ∀a,b a·b = b·a
Enuncia il teorema di Talete
Tre rette parallele tagliano rispettivamente su due rette trasversali coppie di segmenti di lunghezza proporzionale.
Enuncia il teorema di Pitagora
L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Che cosa è il grafico di un polinomio di primo grado f (x) = ax + b? E viceversa?
Sempre una retta.
Ogni retta (tranne quelle parallele all’asse delle ordinate) è il grafico di un polinomio di primo grado.
Che cosa è l’equazione ax+by+c = 0?
La sua soluzione rappresenta una retta del piano cartesiano.
Che cosa è l’equazione ax+by+cz+d = 0?
La sua soluzione rappresenta un piano dello spazio.
Qual è l’equazione di un’iperbole?
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1
Qual è l’equazione di un’ellisse?
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1
Formula circonferenza
C = 2πr
Formula area del cerchio
A = πr^2
Formula fondamentale della trigonometria
sin^2 x + cos^2 x = 1
sin(x+2π) = ?
cos(x+2π) = ?
sin(x+2π) = sin(x)
cos(x+2π) = cos(x)
sin(x+π) = ?
cos(x+π) = ?
sin(x+π) = -sin(x)
cos(x+π) = -cos(x)
sin(x+π/2) = ?
cos(x+π/2) = ?
sin(x+π/2) = cos(x)
cos(x+π/2) = -sin(x)
sin(-x) = ?
cos(-x) = ?
sin(-x) = -sin(x)
cos(-x) = cos(x)
