6. Spazi affini Flashcards
Come si definisce il sottospazio affine di uno spazio vettoriale? Il suo sottospazio associato? E la sua dimensione?
Uno spazio affine di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme S del tipo S=v_0+S_0={v_0+v | v in S_0}, dove v_0 è un qualunque vettore di S e S_0 è un sottospazio vettoriale di V ed è il sottospazio vettoriale associato a S.
S_0 è univocamente determinato da S. Infatti, S e S_0 sono tra loro paralleli.
S_0 e S hanno la stessa dimensione.
Esempi:
- sottospazi affini di R3: R3, tutte i piani, tutte le rette e tutti i punti, insieme vuoto
- sottospazi vettoriali di R3: R3, piani passanti per l’origine (=contenenti vettore nullo), rette passanti per l’origine, vettore nullo
Che cos’è un sistema lineare? Quando si dice omogeneo e quando non omogeneo?
Un sistema lineare è un sistema di equazioni lineari in più incognite dove ogni incognita compare con esponente 1.
Può essere espresso nella forma compatta Ax=b, dove A è la matrice mxn dei coefficienti, x in Rm è il vettore delle incognite e b in Rn è il vettore dei termini noti.
Si dice sistema omogeneo associato a un sistema lineare non omogeneo Ax=b il sistema Ax=0, ossia il sistema che ha per vettore dei termini noti il vettore nullo.
Quali sono le soluzioni di un sistema lineare?
Le soluzioni di un sistema lineare Ax=b sono date da tutti i vettori x che rendono vera l’uguaglianza Ax=b.
I vettori soluzione formano l’insieme Sol(A,b)={x in Rn | Ax=b}.
Tale insieme è un sottospazio affine di Rn.
dim(Sol(A,b))=n-rk(A)
Come si esprimono le soluzioni di un sistema lineare tramite quelle del sistema lineare omogeneo associato e una soluzione particolare?
Se Ax=b ha soluzioni, Sol(A,b)=Sol(A,0)+X_0, dove X_0 è detta soluzione particolare del sistema Ax=b.
dim(Sol(A,0))=dim(Sol(A,b)) poiché Sol(A,0) è il sottospazio vettoriale associato di Sol(A,b).
Enuncia e dimostra il teorema di Rouché-Capelli
Un sistema lineare Ax=b ha soluzione se e solo se rk(A)=rk(A|b).
Per la dimostrazione, vd. foglio
Enuncia e dimostra il teorema di Cramer
Sia Ax=b un sistema lineare, con A quadrata di ordine n e non singolare. Allora ha un’unica soluzione x=(x_1,…,x_n) in Rn data da x_i=det(B_i)/det(A), dove B_i è la matrice che si ottiene sostituendo la colonna dei termini noti b alla colonna i-esima di A.
Per la dimostrazione, vd. foglio
Come si risolve un sistema lineare?
Sia Ax=b un sistema lineare rettangolare.
0. Verificare il teorema di Rouché-Capelli
1. Scegliere un minore di A non singolare di ordine k=rk(A)
2. Eliminare le righe di A, e le corrispondenti equazioni, che non contengono elementi del minore scelto.
3. Portare a secondo membtro di ogni equazione i termini esclusi dal minore scelto e considerarli come parametri (=variabili che potranno assumere qualsiasi valore).
4. Esprimere le incognite rimaste a primo membro in funzione dei parametri
5. Applicare al sistema quadrato ottenuto un sistema di risoluzione (Cramer, Gauss,…)
