4. Prodotti scalari Flashcards
Definisci il prodotto scalare ed enuncia le sue proprietà
Il prodotto scalare è un’applicazione che associa a una coppia di vettori uno scalare.
<v,w>=(a1,…,an)(b1,…,bn)=sum_{k=1}^n (akbk)=a1b1+…+anbn.
Proprietà
- commutatività: è una forma bilineare simmetrica, cioè <v,w>=<w,v>
- bilinearità
- associatività (mista)
- distributività
- non degenere: per ogni vettore v ne esiste un altro w non perpendicolare ad esso, cioè take che v•w≠0
- definito positivo: per ogni vettore v≠0, v•v>0
Definisci norma ed enuncia le sue proprietà
La norma di un vettore è la sua distanza dall’origine degli assi, cioè la sua lunghezza.
||v||=sqrt(v•v)
Proprietà
- ||v||=0 <=>. V=0
- definita positiva
- omogeneità: ||cv||=|c|•||v||
- subadditività (o disuguaglianza triangolare): | ||v||-||w|| |<=||v+w||<=||v||+||w||
- identità del parallelogramma: ||v+w||^2+||v-w||^2=2||v||^2+2||w||^2
Enunciare formule di polarizzazione
Servono a conoscere il prodotto scalare di due vettori date le norme.
Servono anche a ricavare una forma bilineare b(v,w) a partire dalla forma quadratica q associata.
v•w= (||v+w||^2-||v||^2-||w||^2)/2
v•w= (||v+w||^2-||v-w||^2)/4
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
|v•w|<=||v||•||w||
Permette di definire l’angolo tra due vettori.
L’uguaglianza vale se v e w sono linearmente dipendenti.
Definisci l’angolo tra due vettori non nulli
Dividendo i membri della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per il prodotto delle norme, si ottiene il codominio della funzione coseno. Ciò significa che il coseno dell’angolo tra i due vettori è dato dal rapporto tra il prodotto scalare dei vettori e il prodotto delle norme. Quindi l’angolo sarà dato dall’arcocoseno di tale rapporto.
Qual è la formula della proiezione ortogonale di un vettore lungo un altro?
Proiezione ortogonale di w lungo v:
p_v(w)=(w•v)/(v•v)•v
Che cos’è una base ortogonale? E ortonormale?
Una base ortogonale di uno spazio vettoriale V è una base composta da vettori a due a due ortogonali, cioè tale che il prodotto scalare di due vettori diversi sia nullo.
Una base ortonormale è una base ortogonale composta da vettori di lunghezza unitaria, cioè tale che il prodotto scalare tra due vettori sia 1 se hanno lo stesso indice di riga e colonna, 0 se hanno indici diversi.
Enunciare il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt
Dati due vettori v1 e w1, v1 è perpendicolare alla differenza tra w1 e la proiezione di w1 lungo v1.
Usando questo fatto, si modificano le coordinate di tutti i vettori della base in modo che siano tra loro ortogonali a due a due.
Procedimento:
1. Si pone w1=v1 (si deve partire da un vettore dato)
2. w2=v2-pw1(v2)
3. w3=v3-pw1(v3)-pw2(v3)
4. wk=vk-sum_{j=1}^{k-1}(pwj(vk))
5. Dividere ogni vettore per la sua norma per trasformare i vettori wj con norma ||wj|| in vettori uj con norma 1
Che cosa è una matrice ortogonale? Quali sono le sue proprietà?
Una matrice quadrata è ortogonale se A•tA=tA•A=In.
Proprietà:
- il prodotto di due matrici ortogonali è anch’esso una matrice ortogonale
- la trasposta di una matrice ortogonale è ortogonale
- il determinante è unitario (sempre +-1)
Che cos’è il complemento ortogonale a un sottospazio vettoriale? Quali sono le sue proprietà? Come si calcola?
Il complemento ortogonale Sp di un sottospazio vettoriale S in Rn è il sottospazio di Rn contenente tutti i vettori perpendicolari a tutti i vettori di S.
Sp={v in Rn|per ogni s in S. v•s=0}
Proprietà:
- per ogni sottoinsieme di Rn, il suo complemento ortogonale è sottospazio di Rn
- se S è un sottoinsieme di T, allora il complemento ortogonale di S è sovrainsieme del complemento ortogonale di T
- per ogni sottoinsieme di Rn, un insieme S è un sottoinsieme del suo doppio ortogonale
- dimSp=n-dimS
Metodo di calcolo:
Il complemento ortogonale di un sottospazio S in Rn è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo della matrice che ha per righe i vettori generatori, cioè trasposti.
(omogeneo perché per definizione il complemento ortogonale restituisce tutti i prodotti scalari nulli)
Sol(A,0) è anche il nucleo dell’applicazione lineare a cui è associata A.
