3. Spazi vettoriali Flashcards
definire spazio vettoriale
Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V su cui sono definite due operazioni: una somma (che a due elementi di V associa un elemento di V) e un prodotto per scalari (che a un elemento di K e un elemento di V associa un elemento di V), soddisfacenti le proprietà seguenti:
1) associatività della somma
2) esistenza dell’elemento neutro per la somma: vettore nullo O, deve appartenere a qualsiasi spazio
3) esistenza dell’opposto per la somma: -v, deve appartenere a qualsiasi spazio
4) commutatività della somma
5) distributività del prodotto per scalari
6) associatività del prodotto per scalari: tutti i multipli di un vettore v appartengono allo spazio
7) 1v = v e 0v = 0.
Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori.
definire sottospazio vettoriale
Un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme W ⊆ V chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalari, cioè tale che la somma di due vettori w di W appartenga ancora a W e il prodotto di un vettore w di W per un numero reale appartenga ancora a W.
Un sottospazio vettoriale è uno spazio vettoriale a tutti gli effetti contenuto dentro uno spazio vettoriale più grande.
Uno spazio vettoriale V è sempre sottospazio di se stesso.
L’insieme {O} costituito dal solo vettore nullo è sempre un sottospazio vettoriale.
definire combinazione lineare
La combinazione lineare di k vettori v1, …, vk di uno spazio vettoriale V con coefficienti a1, …, ak ∈ R è il vettore b = a1v1 + … + akvk ∈ V.
Il vettore b si dice linearmente dipendente dai vettori v1, …, vk.
Lo span (sottospazio generato da vettori) dei vettori v1, …, vk è l’insieme di tutte le combinazioni lineari di v1, …, vk.
definire generatori
Un sistema di generatori è un insieme di vettori sufficienti per ottenere, tramite una combinazione lineare, qualsiasi elemento di uno spazio vettoriale.
Se si aggiunge un vettore a un sistema di generatori, il nuovo sistema è un sistema di generatori.
Ma non è detto che l’insieme rimanga un sistema di generatori se si toglie un vettore a piacere.
definire lineare indipendenza
Un insieme di vettori di uno spazio vettoriale V si dice linearmente indipendente se la loro combinazione lineare nulla implica tutti i coefficienti nulli.
Un insieme di vettori di uno spazio vettoriale V si dice linearmente dipendente se esistono dei coefficienti non tutti nulli tali che la loro combinazione lineare sia nulla.
Se un insieme di vettori è linearmente dipendente, significa che è possibile ricavare uno di loro come combinazione lineare degli altri.
Alcuni casi:
- se il vettore nullo appartiene all’insieme, l’insieme è linearmente dipendente
- se due vettori dell’insieme sono proporzionali o uguali, l’insieme è linearmente dipendente
- se il numero dei vettori è maggiore del numero dei componenti, i vettori sono dipendenti
Come si fa a capire?
Si forma la matrice A con i vettori in colonna e si studia il sistema Ax = O. I vettori sono linearmente dipendenti se e solo se il sistema ha soluzioni diverse da x = O. Oppure se e solo se il determinante è nullo.
definire base
Un insieme B = {v1, …, vn} di vettori di V è una base di V se:
a) v1, …, vn sono un sistema di generatori di V, cioè V = Span(v1, …, vn)
b) v1, …, vn sono linearmente indipendenti.
Dunque, una base di uno spazio vettoriale è un sistema di generatori minimale (= con il minor numero di elementi possibile).
Un sistema di generatori è una base se e solo se l’unico modo di ottenere il vettore nullo tramite una combinazione lineare è di prendere tutti i coefficienti nulli.
definire dimensione
Si definisce dimensione di uno spazio vettoriale la cardinalità di una sua base qualsiasi.
Ciò significa che è il numero dei parametri necessari per descriverlo, poiché ogni suo elemento è combinazione lineare degli n = dimV fissati elementi della base con coefficienti le n coordinate.
Lo spazio vettoriale composto dal solo vettore nullo ha dimensione zero.
Uno spazio vettoriale privo di sistemi di generatori finiti ha dimensione infinita.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e siano v1, …, vk vettori di V. Allora,
- se k > n, v1, …, vk sono linearmente dipendenti: la dimensione di uno spazio vettoriale è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti
- se k < n, v1, …, vk non sono generatori di V
- se k = n e i vettori sono linearmente indipendenti, v1, …, vk è una base di V.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e W un suo sottospazio. Allora:
- W ha dimensione finita minore o uguale a n
- dim W = dim V se e solo se W = V.
dimostrare esistenza e unicità delle coordinate di un vettore rispetto a una base
Se B = {v1, …, vn} è una base di V, allora ogni elemento di V può essere scritto in un solo modo come combinazione lineare dei vettori v1, …, vn.
teorema del completamento
Sia B = {v1, …, vn} una base di uno spazio vettoriale V, e siano w1, …, wp ∈ V (con p <= n) vettori linearmente indipendenti. Allora esistono n-p vettori di B che, insieme a w1, …, wp, formano un’altra base di V.
Se w1, …, wp sono linearmente indipendenti, per completarli a una base basta aggiungere n-p vettori della base canonica.
- scrivere w1 come combinazione lineare dei vettori della base canonica
- mettere w1 al posto di uno dei vettori della base canonica che compaiono con coefficiente non nullo
- scrivere w2 come combinazione lineare della nuova base con w1
- mettere w2 al posto di uno dei vettori della nuova base (escluso w1) che compaiono con coefficiente non nullo.
Teorema di estrazione di base
Sia V uno spazio vettoriale e siano v1,…,vk generatori di V.
Allora dall’insieme {v1,…,vk} si può estrarre una base di V.
Come?
- Se i vettori dell’insieme sono linearmente indipendenti, la base è data dall’insieme stesso.
- Se sono linearmente dipendenti,
1) trovare un minore di ordine massimo con det≠0 della matrice le cui colonne sono i vettori dell’insieme
2) eliminare le colonne che non contengono elementi del minore trovato
Enunciare e dimostrare che la dimensione di un sottospazio vettoriale proprio è minore di quella del sovraspazio
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e W un suo sottospazio vettoriale. Allora
- dimW <= dimV
- dimW=dimV se e solo se W=V.
Per la dimostrazione, vd. fogli.
L’intersezione, la somma e l’unione di sottospazi vettoriali sono sottospazi vettoriali? Perché?
L’intersezione e la somma sì, poiché verificano le 3 condizioni dei sottospazi vettoriali (appartenenza del vettore nullo, prodotto per scalare, somma).
L’unione non è sottospazio vettoriale perché non è sempre verificata l’appartenenza della somma di vettori.
Definire somma di due sottospazi vettoriali
Per ogni spazio vettoriale V definito su un campo K, l’insieme somma tra due sottospazi vettoriali W e W’ è il più piccolo sottospazio contenente W e W’. Tale sottospazio è formato da tutte le possibili somme tra tutti gli elementi w e w’ di W’ e W’.
W+W’={w+w’|w in W, w’ in W’}
Un suo sistema di generatori è dato dall’unione delle basi di W e W’.
Definire somma di più sottospazi vettoriali
Dati W1,…,Wk sottospazi vettoriali di V, la loro somma è data dall’insieme formato da tutte le somme di tutti gli elementi di tutti i sottospazi.
Definire la somma diretta di due sottospazi vettoriali
Dato uno spazio vettoriale V su K, i suoi sottospazi vettoriali W e W’ si dicono in somma diretta se ogni elemento del loro sottospazio somma si può esprimere unicamente come somma di un elemento di W e di un elemento di W’.
