5. Matrici, determinante e rango Flashcards
Definisci matrice
Una matrice di ordine mxn è una tabella rettangolare di numeri con m righe e n colonne.
Quali sono le operazioni con matrici?
Somma
Prodotto per scalare
Trasposizione
Prodotto righe per colonne
Definisci la somma di matrici e sue proprietà
La somma o differenza di due matrici A e B di uguale ordine mxn è data dalla matrice C mxn, ogni elemento della quale sia somma o differenza dei corrispondenti elementi di A e B.
Proprietà:
- la matrice somma di due matrici di ordine mxn ha lo stesso ordine mxn
- commutatività
- associatività
- esistenza dell’elemento neutro (matrice nulla O)
- esistenza dell’elemento opposto (-A, sommata ad A restituisce la matrice nulla)
Definisci il prodotto di una matrice per uno scalare
Il prodotto di una matrice A mxn per uno scalare c è dato dalla matrice B, ogni elemento della quale sia il corrispondente elemento di A moltiplicato per c.
Proprietà:
- il prodotto di una matrice per uno scalare è ancora una matrice (insieme matrici chiuso rispetto a prodotto per scalare)
- associatività: (cA)B=c(AB)=A(cB); k(hA)=(kh)A
- distributività rispetto alla somma e rispetto al prodotto: k(A+B)=kA+kB; (k+h)A=kA+hA
- esistenza dell’elemento neutro: 1A=A
Definisci la trasposizione di matrici ed enuncia le sue proprietà
La trasposta di una matrice A mxn è la matrice nxm ottenuta scambiando righe e colonne di A.
Proprietà:
- la trasposta di una somma di mateici è uguale alla somma delle trasposte: t(A+B)=tA+tB
- la trasposta di un prodotto di una matrice per uno scalare è uguale al prodotto della trasposta per lo scalare: t(cA)=c*tA
Definisci il prodotto righe per colonne ed enuncia le sue proprietà
Due matrici A e B possono essere moltiplicate tra loro se e solo se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda, cioè se A è di ordine mxn e B di ordine nxp.
Il risultato del prodotto sarà una matrice C i cui elementi c_(ij) sono dati dal prodotto scalare della i-esima riga di A per la j-esima colonna di B.
Proprietà:
- associatività: A(BC)=(AB)C
- distributività: A(B+C)=AB+AC
- esistenza dell’elemento neutro: matrice identità, IA=AI=A
- la trasposta di un prodotto è uguale al prodotto delle trasposte
- se A e B sono due matrici diagonali, il loro prodotto C è una matrice diagonale data dal prodotto termine e termine degli elementi diagonali: c_(ii)=a_(ii)*b_(ii)
Che cos’è la traccia di una matrice?
La somma degli elementi diagonali di una matrice quadrata.
Che cos’è il determinante? Di quali proprietà gode?
Il determinante di una matrice quadrata è un’applicazione lineare (in particolare una forma bilineare) che, data una matrice quadrata, restituisce uno scalare.
Proprietà:
- normalizzazione: il determinante della matrice identità (qualunque sia il suo ordine) è uguale a 1
- alternanza: scambiare due righe o due colonne cambia segno al determinante
- multilinearità: il determinante rispetta la somma (additivo) e il prodotto (omogeneo) in ciascuna riga e colonna
- additivo: il determinante di una matrice in cui una riga/colonna sia data dalla somma di due vettori è uguale alla somma del determinante della matrice col primo vettore addendo e del determinante della matrice col secondo vettore addendo
- omogeneo: il determinante di una matrice con una riga/colonna moltiplicata per uno scalare è uguale allo scalare per il determinante della matrice; N.B.: il determinante di una matrice moltiplicata per uno scalare è uguale allo scalare elevato all’ordine della matrice per il determinante della matrice
Enuncia la formula dello sviluppo di Laplace del determinante
Serve per calcolare il determinante di matrici di ordine maggiore a 3x3 in termini dei determinanti di n sottomatrici.
Si esegue rispetto a una riga o rispetto a una colonna (conviene scegliere quella con più elementi nulli).
det(A)=sum_(i o j=1)^n(-1)^(i+j)a_(ij)*det(A_(ij))
Teorema di Binet
Il determinante del prodotto di due matrici quadrate di uguali dimensioni è uguale al prodotto dei determinanti delle matrici.
Come si calcola l’inversa di una matrice?
- Si calcola il determinante della matrice: se è nullo, la matrice non è invertibile
- Si calcola la matrice dei cofattori (o complementi algebrici), sostituendo ogni elemento della matrice di partenza con il relativo cofattore, dato dal determinante della sottomatrice con segno determinato dalla regola della scacchiera: Cof(a_(ij))=(-1)^(i+j)*det(A_(ij))
- Si traspone la matrice dei cofattori
- Si divide la trasposta della matrice dei cofattori per il determinante della matrice iniziale
Formula
A^-1=1/det(A)*Cof(A)^T
Quali sono le due condizioni per cui una matrice può essere invertita?
- matrice non singolare (determinante non nullo)
- elementi diagonali tutti diversi da 0
Che cos’è un minore di matrice?
Data una matrice mxn, un minore di A è una sottomatrice quadrata kxk ottenuta cancellando da A m-k righe e n-k colonne.
Enuncia varie definizioni equivalenti di rango di matrice
- Il rango di una matrice è il massimo ordine di un minore di A non singolare.
- Il rango è dato dal numero di pivot della matrice.
- Il rango di una matrice è uguale al massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.
- Il rango di una matrice equivale alla dimensione dello spazio generato dai vettori colonna/riga della matrice.
- Il rango di una matrice associata a un’applicazione lineare è la dimensione dell’immagine: rk(f)=dim(Im f).
Che cosa dice il Teorema degli orlati e a cosa serve?
Velocizza il calcolo del rango di una matrice.
Sia A una matrice. Allora rk(A)=k se e solo esiste un minore A’ di ordine k di A non singolare e tutti i minori di ordine k+1 di A ottenuti orlando A’ (aggiungendo ad A’ una riga e una colonna) sono singolari.
