Forme bilineari (reali) e loro diagonalizzazione Flashcards
Definisci forma bilineare
Un’applicazione b:VxW→K si dice forma bilineare se rispetta la linearità sia nel primo fattore V che nel secondo fattore W.
Le forme bilineari si applicano a una coppia di vettori di Rn e restituiscono uno scalare in K (es. prodotto scalare (simmetrico: b(v,w)=b(w,v)) e determinante (non simmetrico: b(v,w)=-b(w,v))).
Proprietà
- linearità del primo fattore V:
i) per ogni v,v’ in V e per ogni w in W b(v+v’,w)=b(v,w)+b(v’,w)
ii) per ogni v in V, per ogni w in W e per ogni k in R b(kv,w)=kb(v,w)
- linearità del secondo fattore W:
i) per ogni v in V e per ogni w,w’ in W b(v,w+w’)=b(v,w)+b(v,w’)
ii) per ogni v in V, per ogni w in W e per ogni k in R b(v,kw)=kb(v,w)
Definisci matrice associata a una forma bilineare rispetto a una base, con sue formule di costruzione, utilizzo e cambio di base
Date due basi B={v1,…,vn} di V e C={w1,…,wm} di W, la matrice associata alla forma bilineare b:VxW→K rispetto alle basi B e C di partenza è la matrice _Cb_B che ha per colonna tutte le applicazioni b(vi,wj) per i=1,…,n e per j=1,…,m.
Formula di utilizzo: b(v,w)=tw_C_Cb_Bv_B
Formula di cambio di base:
_C’b_B’=t_CidC’_Cb_B_Bid_B’
Definisci forma bilineare simmetrica
Una forma bilineare b:VxV→K si dice simmetrica se per ogni vettore v di V b(v,w)=b(w,v).
Se la forma bilineare è simmetrica, allora ogni matrice associata alla forma bilineare rispetto a qualsiasi base è simmetrica.
Definisci forma bilineare non degenere
Una forma bilineare b:VxV→K si dice non degenere se per ogni vettore v di V diverso da 0 esiste un vettore w di V tale che b(v,w)!=0.
Se una forma bilineare è non degenere, allora ogni matrice associata a b rispetto a qualsiasi base è non singolare.
Che cos’è un minore principale di una matrice simmetrica?
Un minore di ordine k di una matrice quadrata simmetrica A si dice minore principale se i suoi indici di riga e di colonna (rispetto ad A) corrispondono.
In altre parole, un minore principale è un minore simmetrico rispetto alla diagonale principale di A.
Che cos’è una forma bilineare simmetrica definita/semidefinita positiva/negativa? Enuncia il criterio sui minori principali
Una forma bilineare b:VxV→R simmetrica si dice definita positiva se per ogni v!=0 in V b(v,v)>0.
Tutti i minori principali della matrice associata a b hanno det>0.
Una forma bilineare b:VxV→R simmetrica si dice semidefinita positiva se per ogni v!=0 in V b(v,v)>=0.
Tutti i minori principali della matrice associata hanno det>=0.
Una forma bilineare si dice definita negativa se per ogni v!=0 in V b(v,v)<0.
Tutti i minori principali della matrice associata cambiata di segno hanno det>0.
Una forma bilineare si dice semidefinita negativa se per ogni v!=0 b(v,v)<=0.
Tutti i minori principali della matrice associata cambiata di segno hanno det>=0.
Enuncia il Teorema di Sylvester
Sia V uno spazio vettoriale su R di dimensione dimV=n. Allora una forma bilineare simmetrica è diagonalizzabile ed esiste la segnatura di b.
Ossia tre numeri naturali tali che ogni base {u1,…,un} di V che diagonalizza b possegga esattamente
- n+ vettori tali che b(uj,uj)>0
- n- vettori tali che b(uj,uj)<0
- n0 vettori tali che b(uj,uj)=0.
n++n-+n0=n=dimV
Che cos’è la segnatura di una forma bilineare simmetrica?
La segnatura di una forma bilineare simmetrica b sono tre numeri naturali tali che ogni base {u1,…,un} di V che diagonalizzi b possegga esattamente
- n+ vettori uj tali che b(uj,uj)>0
- n- vettori uj tali che b(uj,uj)<0
- n0 vettori uj tali che b(uj,uj)=0
La somma di questi tre numeri è uguale a n=dimV.
Enuncia il criterio di Cartesio sul segno degli zeri di un polinomio e la sua applicazione alla segnatura di una forma bilineare simmetrica
Sia p(x)=a0+a1x+a2x^2+…+an*x^n un polinomio di grado n a coefficienti reali. Allora
- 0 è una radice di p(x) se e solo se a0=0, e in tal caso ma=min{j:aj!=0}
- il numero di radici positive del polinomio, con relativa molteplicità, è pari al numero di variazione di segno nella successione dei coefficienti.
Descrivi il procedimento di diagonalizzazione di una forma bilineare simmetrica
Sia A una matrice simmetrica associata a una forma bilineare simmetrica b rispetto a una base C.
Si consideri l’applicazione lineare f associata alla matrice A rispetto alla base C. E si consdieri la matrice identità che rappresenti il prodotto scalare nello spazio su cui è definita b.
Per costruzione, C è ortonormale e f è simmetrica, quindi per il Teorema spettrale f è diagonalizzabile rispetto a una base ortonormale.
La base ortonormale che diagonalizza f è anche la base che diagonalizza b.
Per ottenerla, basta trovare una base che diagonalizzi f e poi ortonormalizzarla tramite il procedimento di Gram-Schmidt.
