1. Numeri reali e complessi Flashcards
definire campo
Un campo è un insieme K dotato di due operazioni (somma e prodotto) per cui valgono le seguenti proprietà:
1) associatività della somma
2) esistenza dell’elemento neutro per la somma
3) esistenza dell’opposto
4) commutatività della somma
5) distributività della somma rispetto al prodotto
6) associatività del prodotto
7) esistenza dell’elemento neutro per il prodotto
8) esistenza dell’inverso
9) commutatività del prodotto.
definire ed enunciare le proprietà dell’addizione sull’insieme dei numeri complessi
(a + bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
La somma di due numeri complessi è il numero complesso che ha come parte reale la somma delle parti reali e come parte immaginaria la somma delle parti immaginarie.
Proprietà:
1) associatività
2) esistenza dell’elemento neutro
3) esistenza dell’opposto
4) commutatività
definire ed enunciare le proprietà della sottrazione sull’insieme dei numeri complessi
(a + bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
La differenza di due numeri complessi è il numero complesso che ha come parte reale la differenza delle parti reali e come parte immaginaria la differenza delle parti immaginarie.
definire ed enunciare le proprietà della moltiplicazione sull’insieme dei numeri complessi
(a + bi)-(c + di)=(ac - bd)+(ad + bc)i
Proprietà:
1) distributività rispetto alla somma
2) associatività
3) esistenza dell’elemento neutro
4) esistenza dell’inverso
5) commutatività
definire ed enunciare le proprietà della divisione sull’insieme dei numeri complessi
Il rapporto tra due numeri complessi si calcola moltiplicando entrambi per il coniugato del denominatore, così da far scomparire la parte immaginaria al denominatore.
definire ed enunciare le proprietà del coniugio sull’insieme dei numeri complessi
Proprietà:
1) il coniugato del coniugato di z è uguale a z
2) z + coniugato di z = due volte la parte reale
3) z - coniugato di z = due volte la parte immaginaria i (immaginario puro)
4) il coniugato della somma è uguale alla somma dei coniugati
5) il coniugato del prodotto è uguale al prodotto dei coniugati
6) se z è diverso da zero, il coniugato dell’inverso è uguale all’inverso del coniugato
7) coniugato di z = z se e solo la parte immaginaria è nulla
8) coniugato di z = -z se e solo z è un immaginario puro
9) il prodotto tra z e il suo coniugato (cioè il quadrato del modulo di z) è sempre maggiore o uguale a zero; è nullo se e solo se z = 0
10) l’inverso di z è uguale al rapporto tra il coniugato di z e il quadrato del suo modulo
dimostrare che l’insieme dei numeri complessi è un campo
L’insieme dei numeri complessi è un campo poiché è dotato delle operazioni somma e prodotto con le rispettive proprietà.
definire la corrispondenza tra l’insieme dei numeri complessi e il piano cartesiano
Il campo dei numeri complessi è uno spazio vettoriale di dimensione 2, dunque ogni suo elemento è descritto da 2 coordinate.
La base canonica di C su R è {(1, 0), (0, 1)}.
Il vettore (1, 0) ha parte reale = 1, parte immaginaria = 0.
Il vettore (0, 1) è detto unità immaginaria e si indica con i.
Si considera R come un sottoinsieme di C e si identifica R con l’asse delle ascisse tramite l’applicazione T: R → C data da T(x) = (x, 0); cioè T è un isomorfismo tra R e l’asse delle ascisse, nel senso che conserva le operazioni somma e prodotto:
T(x+y) = T(x) + T(y)
T(xy) = T(x)*T(y)
per ogni x, y ∈ R.
Così un generico numero complesso di coordinate a, b può essere espresso come
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a1 + bi = a + bi.
Infatti, l’insieme dei numeri complessi, dato da C = {a+bi|a, b ∈ R} è rappresentato graficamente dal piano di Gauss, che è un sistema di assi cartesiani con la retta reale R come asse delle ascisse e la retta immaginaria dei numeri immaginari puri i come asse delle ordinate. Dunque, un numero complesso z = a + bi viene rappresentato nel piano di Gauss come il punto di coordinate (a; b).
definire l’interpretazione grafica delle operazioni
La somma si rappresenta mediante la regola del parallelogramma.
enunciare la formula di Eulero
vd. Notion
calcolare il reciproco di un numero complesso dato in forma cartesiana o polare
vd. Notion
definire le coordinate cartesiane (parti reale e immaginaria) e polari (modulo e argomento) nel campo complesso ed enunciare le formule di conversione tra di esse
vd. Notion
