Diagonalizzazione di endomorfismi Flashcards
Che cos’è un autovalore?
Sia f:V→V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V su un campo K.
Lo scalare λ si dice autovalore di f se esiste un vettore non nullo v di V che, moltiplicato a λ, sia l’immagine del vettore stesso.
Dato un autovettore, l’autovalore corrispondente è unico. Ma l’autovettore corrispondente a un autovalore in generale NON è unico.
Che cos’è un autovettore?
Sia f:V→V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V su un campo K.
Un vettore non nullo v di V si dice autovettore di f relativo all’autovalore λ se si ha f(v)=λv.
Che cos’è un autospazio?
Sia f:V→V un endomorfismo di V su K.
L’autospazio di f relativo all’autovalore λ è l’insieme V_λ={v in V | f(v)=λv}.
È un sottospazio vettoriale di V.
Che cos’è il polinomio caratteristico di un endomorfismo?
Sia f:V→V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V su un campo K; sia B={v1,…,vn} una base di V e sia A la matrice che rappresenta f rispetto a B.
Allora la funzione p:K→K data da p(λ)=det(A-λI_n) è detta polinomio caratteristico di f.
Il polinomio caratteristico
- non dipende dalla base scelta
- è di grado n.
Che cos’è la diagonalizzazione di un endomorfismo?
La diagonalizzazione definisce se un vettore viene mandato dall’endomorfismo f in un suo multiplo o meno.
Una base diagonalizza un endomorfismo se e solo se ogni vettore della base viene mandato dall’applicazione in un suo multiplo, cioè se e solo se f(vj)=λj*vj per ogni j=1,…,n.
Enuncia e dimostra l’invarianza del polinomio caratteristico per cambio di base
Il polinomio caratteristico non dipende dalla base scelta.
Ossia det(_Bf_B-λIn)=det(_Cf_C-λIn) per ogni B,C basi di V.
Usando la formula del cambio di base, si esprima _Cf_C come _Cf_C=_CidB_Bf_B_Bid_C=(_BidC)^-1_Bf_B_Bid_C (N.B.: non si semplifica perché il prodotto righe per colonne non è commutativo).
Poniamo _Bf_B=B e _Bid_C=M.
Dimostriamo quindi che det(B-λIn)=det(M^-1BM-λIn).
Riscrivere il secondo membro come det(M^-1BM-λ(M^-1InM))=det(M^-1BM-M^-1λInM)=det(M^-1(B-λIn)M), che è un determinante di due prodotti.
Applicando il Teorema di Binet, detM^-1det(B-λIn)detM=1/detMdet(B-λIn)*detM=det(B-λIn).
Definisci molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore e le loro relazioni
La molteplicità algebrica di un autovalore λ è il suo esponente nella fattorizzazione massimale del polinomio caratteristico p(λ).
La molteplicità geometrica di un autovalore λ è la dimensione dell’autospazio relativo a λ, ossia mg(λ)=dim(V_λ).
Relazione
per ogni λ autovalore di f,
1<=mg<=ma<=n.
Enuncia e dimostra condizioni necessarie e/o sufficienti pre la diagonalizzazione di un endomorfismo
Condizioni sufficienti:
k=n
f simmetrica
Condizione necessaria e sufficiente:
esiste una base di V composta da autovettori di f, cosa che avviene se e solo se la somma per j=1,…,k mg(λj)=n.
Condizione necessaria:
la somma per j=1,…,k ma(λj)=n e mg(λj)=ma(λj) per ogni j=1,…,k
Descrivi il procedimento di diagonalizzazione di un endomorfismo
A partire da una matrice A quadrata di ordine n associata a un endomorfismo f:V→V rispetto a una base C di V,
1. calcolare il polinomio caratteristico associato e trovare i k autovalori λ1,…,λk → verificare le condizioni di diagonalizzabilità
2. trovare dimensioni e basi degli autospazi relativi agli autovalori trovati: calcolare Ker(A-λjIn) tramite la risoluzione dei sistemi lineari omogenei (A-λjIn)x=0, le cui soluzioni sono l’espressione in base C degli autovettori
3. unire le k basi trovate in un’unica base diagonalizzante di f; la matrice diagonalizzante M è la matrice del cambio di base da B a C avente per colonne i vettori di B espressi in base C.
4. verificare risolvendo MD=AM, dove D è la matrice diagonale che ha per elementi diagonali gli autovalori relativi ad A scritti nello stesso ordine dei corrispondenti vettori di B.
Che cos’è un endomorfismo simmetrico rispetto al prodotto scalare?
Sia f: V→V un’applicazione lineare su uno spazio vettoriale V. f è simmetrica rispetto al prodotto scalare se e solo se la matrice associata a f rispetto alla base canonica è simmetrica (infatti la base canonica è ortonormale).
Enuncia il Teorema spettrale nel caso reale e dimostra l’ortogonalità tra autovettori di autovalori diversi
Sia f: V→V un’applicazione lineare di uno spazio vettoriale V. Allora f è simmetrica se e solo se è diagonalizzabile su base ortonormale, ovvero se e solo se esiste una base ortonormale di V composta da autovettori di f.
Se gli autovettori di f compongono una base ortonormale di V, significa che gli autovettori di autovalori distinti sono tra loro ortogonali. Quindi gli autovettori relativi ad autovalori distinti di un’applicazione lineare simmetrica sono tra loro ortogonali.
Dimostrazione:
Per ipotesi f(v1)=λ1v1 e f(v2)=λ2v2, λ1!=λ2 e per la definizione di autovettore v1,v2!=0. Bisogna dimostrare che v1*v2=0 (condizione di ortogonalità).
Poiché f è un’applicazione lineare simmetrica, f(v1)v2=v1f(v2). Sostituendo, l’uguaglianza diventa λ1v1v2=v1λ2v2, ossia λ1(v1v2)=λ2(v1v2), cioè (λ1-λ2)(v1v2)=0.
L’equazione è verificata se e solo se λ1-λ2=0 oppure v1v2=0. Ma per ipotesi λ1!=λ2, quindi per forza deve essere che v1*v2=0.
P.S.: lo spettro di un’applicazione è l’insieme dei suoi autovalori.
