Geometria analitica di punti, rette e piani nello spazio

Question 1

Come si trasforma un’equazione in forma cartesiana a una in forma parametrica?

Answer 1

Si risolve, trovando Sol(A,b), il sistema lineare Ax=b, dove A è la matrice dei coefficienti di giacitura e b è il vettore dei termini noti.

Question 2

Definisci punti, rette e piani nello spazio e loro espressioni in forma cartesiana o parametrica

Answer 2

Riprendendo il concetto di sottospazio affine, si possono considerare punti, rette e piani sottospazi affini di R3 e possono essere espressi tramite equazioni cartesiane (sotto forma di un sistema di equazioni) e parametriche (conoscendo un punto del sottospazio affine e la sua direzione nello spazio).

Se A in M_{mx3} e b in R^p, allora Ax=b è un’equazione cartesiana per Sol(A,b). La dimensione di Sol(A,b) è 3-rkA e il suo sottospazio di giacitura è lo spazio Sol(A,0) delle soluzioni del sistema omogeneo.

• equazione cartesiana di un piano in R3
  
  • ax+by+cz=d
  • ammesso che la matrice A=(a b c) abbia rk=1
  • a,b,c sono i parametri di giacitura del piano e NON sono univocamente determinati
• equazione cartesiana di una retta in R3
  
  • (intersezione di due piani)
  • ammesso che la matrice dei coefficienti abbia rk=2

Se P_0 in R3 è un punto dello spazio e B in M_{3xk}(R) ha rk(B)=k, allora P=P0+Bt è un’equazione parametrica per l’insieme dei punti dello spazio affine al variare del parametro t. Il sottospazio affine ha dimensione rk(B)=k, e il sottospazio vettoriale associato ha equazione parametrica P=Bt.

Il numero di parametri corrisponde alla dimensione del sottospazio.

• equazione parametrica di una retta
  
  • v=v_0+t(l m n) oppure {x=x_0+lt \ y=y_0+mt \ z=z_0+nt} al variare di t
  • il vettore v1=(l m n) è detto vettore direttore della retta; l,m,n sono i parametri direttori e NON sono univocamente determinati
• equazione parametrica di un piano
  
  • v=v_0+s(l m n) + t(l’ m’ n’) oppure {x=x_0+ls+l’t \ y=y_0+ms+m’t \ z=z_0+ns+n’t} al variare di t,s
  • i vettori v1=(l m n) e v2=(l’ m’ n’) formano una base del sottospazio vettoriale associato

Question 3

Come si trasforma un’equazione in forma parametrica in una in forma cartesiana?

Answer 3

1. Si calcola il complemento ortogonale S_0^perp=Span(w1,…,w_(n-k)) dello spazio vettoriale S_0=Span(v1,…,vk) associato allo spazio affine dato.
2. Le coordinate dei vettori w1,…,w_(n-k) saranno i coefficienti di giacitura,
3. I termini noti b1,…,b_(n-k) si calcolano così: bj=v0*wj per ogni j=1,…,n-k.

Question 4

Definisci il prodotto vettoriale tra due vettori in R3

Answer 4

v=(v1 v2 v3) e w=(w1 w2 w3)
v∧w=(det(v2 w2 \ v3 w3) -det(v1 w1 \ v3 w3) det(v1 w1 \ v2 w2))

Proprietà
- distributiva
- v∧w=0 se e solo se v e w linearmente dipendenti
- il vettore v∧w è perpendicolare sia a v sia a w

Question 5

Enuncia il procedimento di determinazione delle posizioni reciproche (incidenza, coincidenza, appartenenza o inclusione, parallelismo, perpendicolarità) tra punti, rette o piani e delle loro intersezioni

Answer 5

PIANO E PIANO (eq. cartesiane)
- parallelismo: vettori direttori linearmente dipendenti, cioè rango della matrice dei coefficienti di giacitura=1
- coincidenza: rango della matrice dei coefficienti di giacitura con termini noti=1
- perpendicolarità: prodotto scalare dei vettori direttori=0

PIANO (eq. cartesiana) E RETTA (eq. parametrica)
- parallelismo: prodotto scalare dei vettori direttori=0
- perpendicolarità: vettori direttori linearmente dipendenti, o rk(w1 \ v1)=1
- appartenenza: condizione di parallelismo + vettore di traslazione v0 appartiene al piano
- incidenza: punto di incidenza P=(x0 y0 z0):(x0 y0 z0)=(x1 y1 z1)+t*(l m n), con t soluzione di a(x1+tl)+b(y1+tm)+c(z1+tn)=d

RETTA E RETTA (eq. parametriche)
- parallelismo: rk((v1)(v1’))=1 + rk((v1)(v1’)(v0’-v0))=2
- coincidenza: rk((v1)(v1’)(v0’-v0))=rk((v1)(v1’))=1
- incidenza: rk((v1)(v1’)(v0’-v0))=rk((v1)(v1’))=2
- sghembe: rk((v1)(v1’))=2 + rk((v1)(v1’)(v0’-v0))=3