Integrals

Question 1

Answer 1

Question 2

Answer 2

Question 3

Answer 3

Question 4

Answer 4

Question 5

Answer 5

Question 6

Answer 6

Question 7

Answer 7

Question 8

Answer 8

Question 9

Answer 9

Question 10

Answer 10

Question 11

Answer 11

arccos(x) + C

Question 12

הגדירו:

סכום דרבו עליון וסכום דרבו תחתון

Answer 12

Question 13

הגדירו:

אינטגרל עליון ואינטגרל תחתון.

Answer 13

Question 14

כיצד נוכיח אינטגרביליות של פונקציה בעזרת “תנאי דרבו לאינטגרביליות”?

Answer 14

Question 15

למה שווה האינטגרל שבתמונה?

Answer 15

Question 16

Answer 16

Question 17

Answer 17

Question 18

מה הנגזרת של הפונקציה בתמונה?

Answer 18

Question 19

איך ניגש לפתור את התרגיל שבתמונה?

Answer 19

1. ראשית נבין שמה שיש במונה הוא פונקציה.
2. נשים לב שמולנו מצב אי-ודאות “0/0”, ולכן צריך להשתמש בלופיטל.
3. נגזור את המונה לפי הכללים המתאימים. כמו כן נגזור את המכנה. אם כשמתחשבים בגבול עדיין נהיה במצב של אי-ודאות, נשתמש בלופיטל פעם נוספת.

הערה - נשים לב שלא היה צריך לחשב את האינטגרל במונה!

Question 20

איך השימוש ב”שיטת ההצבה” לחישוב אינטגל מסוים שונה מהשימוש בשיטה לחישוב אינטגרל לא מסוים?

Answer 20

כאשר משתמשים בשיטת ההצבה לחישוב אינטגרל מסוים ( = כשיש ערכים מעל ומתחת לסמל האינטגרל) אין צורך לחזור למשתנה המקורי. זאת בניגוד לשימוש בשיטת ההצבה כדי לחשב אינטגרל לא מסוים.

Question 21

איך נחשב אינטגרל של פונקציה בשיטת “אינטגרציה בחלקים”?

Answer 21

Question 22

כאשר משתמשים באינטגרציה בחלקים כדי למצוא אינטגרל מסוים של פונקציה, איפה נציב את הערכים שמעל ומתחת לסימן האינטגרל?

Answer 22

נציב אותם בשני הצדדים של הביטוי בתמונה.

Question 23

כתבו בסימון מתמטי את הבעיה שיש לפתור בשאלה שבתמונה.

Answer 23

Question 24

הגדירו רציפות במידה שווה.

Answer 24

Question 25

הגדירו בשתי דרכים: הפונקציה f רציפה בנקודה x₀.

Answer 25

Question 26

מה הקשר בין הנגזרת של פונקציה f לבין היותה רציפה במידה שווה?

Answer 26

Question 27

מה הקשר בין רציפות במידה שווה לבין אינטגרביליות?

Answer 27

רציפות במידה שווה גוררת אינטגרביליות.

Question 28

מהו האינטואיציה למשפט היסודי של החדו"א?

Answer 28

Question 29

מהו המשפט היסודי של החדו"א?

Answer 29

Question 30

מדוע מתקיים השוויון שבתמונה?

Answer 30

Question 31

מהי הנוסחה של "שיטת ההצבה"? מאיפה היא נובעת?

Answer 31

הערה: זו הנוסחה בצורתה הצרופה. בדרך כלל לא משתמשים בצורה המופשטת הזו של שיטת ההצבה.

Question 32

מהי הצורה הבולטת ביותר שבה נשתמש ב"שיטת ההצבה"?

Answer 32

פעמים רבות שימוש בשיטת ההצבה יהיה רעיון טוב, אבל: נדע בבירור שיש להשתמש בשיטת ההצבה כשצריך למצוא אינטגרל של מכפלת שתי פונקציות מהצורה: (f(g(x)) \* g'(x ואז - לפי שיטת ההצבה, האינטגרל הנ"ל שווה ל((F(g(x. ( F = הפונקציה הקדומה שנחשב לf).

Question 33

באיזו שיטה נפתור את האינטגרל שבתמונה?

Answer 33

שיטת ההצבה.

Question 34

באיזה שיטה נפתור את האינטגרל הבא?

Answer 34

Question 35

מתי נחשוב להציב פונקציה טריגונומטרית הפוכה כדי לפתור אינטגרל?

Answer 35

כשיש לנו ביטוי מהצורה בתמונה

Question 36

Answer 36

Question 37

איך נראה גרף הפונקציה של (sin(x?

Answer 37

Question 38

איך נראה גרף הפונקציה של (cos(x?

Answer 38

Question 39

איך נראה גרף הפונקציה של (tan(x?

Answer 39

Question 40

מה הנגזרת של (arcsin(x?

Answer 40

Question 41

Complete ( x²+bx+c ) to a square:

Answer 41

Question 42

What is the quadratic formula?

Answer 42

Question 43

איך מוצאים אינטגרל של פונקציה רציונלית עם 1 במונה וגורם אי פריק במכנה?

Answer 43

משתמשים בהשלמה לריבוע בשאיפה להגיע לצורת נגזרת של arctan.

Question 44

איך מוצאים אינטגרל של פונקציה רציונלית עם גורמים לינארים שונים במכנה?

Answer 44

משתמשים בפירוק לשברים חלקיים, בשאיפה להגיע לצורת הנגזרת של ln.

Question 45

איך מוצאים אינטגרל של פונקציה רציונלית עם גורמים לינארים שווים במכנה?

Answer 45

משתמשים בפירוק לשברים חלקיים, בשאיפה להגיע לצורת הנגזרת של ln.

Question 46

איך מוצאים אינטגרל של פונקציה רציונלית עם גורם לינארי במונה וגורם אי פריק במכנה?

Answer 46

א. משתמשים ב**השלמה לנגזרת** כדי להגיע לצורת הנגזרת של ln. ב. מה שנשאר הוא פונקציה רציונלית עם 1 במונה וגרום אי פריק במכנה, ואת זה אנו פותרים בהתאם (מגיעים לצורת הנגזרת של arctan.)

Question 47

Answer 47

π/2

Question 48

Answer 48

Question 49

Answer 49

Question 50

Answer 50

Question 51

Answer 51

Question 52

Answer 52

Question 53

Answer 53

Question 54

1. הגדירו "אינטגרל לא אמיתי על קרן אינסופית". 2. מתי אינטגרל כזה מתכנס?

Answer 54

Question 55

1. הגדירו "אינטגרל לא אמיתי של פונקציה שאינה חסומה בנקודת קצה". 2. מתי אינטגרל כזה מתכנס?

Answer 55

Question 56

איך נבדוק אם האינטגרל שבתמונה מתכנס?

Answer 56

Question 57

איך נבדוק אם האינטגרל שבתמונה מתכנס?

Answer 57

Question 58

מהו "מבחן ההשוואה לאינטגרלים לא אמיתיים של פונקציות אי-שליליות"?

Answer 58

Question 59

Answer 59

Question 60

מה הטריק להוכחת הקריטריון האינטגרלי להתכנסות טור?

Answer 60

הטריק בהוכחה הוא לחסום את האינטגרל בין שתי פונקציות מדרגות על חלוקה שמחולקת לקטעים באורך 1.

Question 61

Answer 61

Question 62

פרקו את הביטוי הבא לשברים חלקיים:

Answer 62

Question 63

מהו האינטגרל של הביטוי בתמונה? בפרט, איפה נציב את הערכים שמעל ומתחת לאינטגרל בפונקציות הקדומות?

Answer 63

Question 64

איך נפרק לשברים חלקיים את הביטוי שבתמונה? בפרט, מהם שני השלבים הראשונים בפירוק?

Answer 64

Question 65

מהו מבחן ההשוואה הגבולי (בקשר לאינטגרלים לא אמיתיים)?

Answer 65