פונקציות מרובות משתנים - הקדמה (שנה ג)

Question 1

הגדירו:

מכפלה סקלרית בRⁿ

Answer 1

Question 2

הגדירו:

אורך של וקטור בRⁿ

Answer 2

Question 3

מה היחס בין:

הערך המוחלט של מכפלה סקלרית של שני וקטורים בRⁿ

לבין:

מכפלת אורכי שני הוקטורים

?

Answer 3

Question 4

איך מוגדרת הפונקציה שבתמונה?

Answer 4

Question 5

Answer 5

Question 6

Answer 6

Question 7

הגדירו: נורמה

Answer 7

Question 8

הגדירו: מרחב מטרי

Answer 8

Question 9

Answer 9

Question 10

הגדירו: קבוצה פתוחה

Answer 10

Question 11

תהי קרן פתוחה בR.

מתי היא קבוצה פתוחה ומתי היא קבוצה סגורה?

Answer 11

כל קרן פתוחה היא קבוצה פתוחה.

Question 12

מהם כללי דה-מורגן?

Answer 12

Question 13

Answer 13

Question 14

הגדירו: קבוצה סגורה

Answer 14

Question 15

Answer 15

Question 16

הגדירו בעזרת קבוצות פתוחות:

הסדרה a_k שואפת לa.

Answer 16

Question 17

הגדירו את השפה של A בעזרת סדרות.

Answer 17

Question 18

איך נאפיין קבוצה סגורה בעזרת גבולות?

Answer 18

Question 19

הגדירו:

הוקטור a בRⁿ הוא גבול של סדרת וקטורים בRⁿ.

Answer 19

Question 20

הגדירו:

סדרה חסומה בRⁿ

Answer 20

Question 21

מה אפשר להגיד על כל סדרה חסומה בRⁿ?

Answer 21

Question 22

Answer 22

Question 23

תהי A תת קבוצה מוכלת בRⁿ.

הגדירו: A קבוצה חסומה.

Answer 23

A מוכלת בRⁿ חסומה אם אפשר להקיף אותה בעיגול (או ריבוע)

Question 24

מהו משפט בולצאנו-ויירשטראס (מאינפי 1)?

Answer 24

בולצאנו ויירשטראס:

לכל סדרה חסומה יש תת סידרה מתכנסת.

(ההוכחה היא בעזרת הלמה של קנטור, שאומרת שבמצב שבתמונה יש נקודה C המשותפת לכל הקטעים ההולכים וקטנים ומוכלים אחד בשני. אפשר לקחת נקודה בכל תת קטע כזה וכך ליצור תת סדרה שמתכנסת לC).

Question 25

Answer 25

Question 26

Answer 26

Question 27

הוכחנו ש |*| => ||*||

מה זה אומר מבחינה אינטואיטיבית / גיאומטרית?

Answer 27

זה אומר שהריבוע שמיוצר על ידי || * || מכיל את הריבוע הנוצר על ידי | * |.

נסתכל על ריבוע ועל עיגול ברדיוס 1. נסתכל על הנקודה הירוקה. הנורמה האוקלידית תיתן לנקודה הזאת את הערך 1. לעומת זאת, נורמת המקסימום תיתן לנקודה ערך קטן מ1. (נורמת המקסימום תיתן רק לנקודה האדומה, שהיא ערך גדול יותר מהנקודה הירוקה) את הערך 1.

כלומר הנורמה האוקלידית מצמידה לערכים קטנים - ערכים גדולים יותר מאשר נורמת המקסימום.

Question 28

תהי f פונקציה מRⁿ לR, ויהי a וקטור בRⁿ.

הגדירו: L הוא הגבול של f בa.

Answer 28

Question 29

Answer 29

Question 30

בפונקציות מרובות משתנים, איזו עובדה תעזור לנו פעמים רבות להוכיח את קיומו של גבול בנקודה?

Answer 30

זו שבתמונה.

Question 31

Answer 31

Question 32

Answer 32

Question 33

Answer 33

Question 34

Answer 34

Question 35

אילו “קומבינציות” של פונקציות מRⁿ ל R^m הן רציפות?

Answer 35

Question 36

הגדירו:

קרן פתוחה וקרן סגורה

Answer 36

Question 37

משפט: כל קרן פתוחה היא קבוצה…?

Answer 37

כל קרן פתוחה היא קבוצה פתוחה.

Question 38

איחוד של קבוצות פתוחות היא קבוצה…?

Answer 38

איחוד של קבוצות פתוחות היא קבוצה פתוחה.

Question 39

הגדירו את הסגור של A בעזרת סדרות.

Answer 39