פונקציות מרובות משתנים - הקדמה (שנה ג) Flashcards
הגדירו:
מכפלה סקלרית בRn
הגדירו:
אורך של וקטור בRn
מה היחס בין:
הערך המוחלט של מכפלה סקלרית של שני וקטורים בRn
לבין:
מכפלת אורכי שני הוקטורים
?
איך מוגדרת הפונקציה שבתמונה?
הגדירו: נורמה
הגדירו: מרחב מטרי
הגדירו: קבוצה פתוחה
תהי קרן פתוחה בR.
מתי היא קבוצה פתוחה ומתי היא קבוצה סגורה?
כל קרן פתוחה היא קבוצה פתוחה.
מהם כללי דה-מורגן?
הגדירו: קבוצה סגורה
הגדירו בעזרת קבוצות פתוחות:
הסדרה ak שואפת לa.
הגדירו את השפה של A בעזרת סדרות.
איך נאפיין קבוצה סגורה בעזרת גבולות?
הגדירו:
הוקטור a בRn הוא גבול של סדרת וקטורים בRn.
הגדירו:
סדרה חסומה בRn
מה אפשר להגיד על כל סדרה חסומה בRn?
תהי A תת קבוצה מוכלת בRn.
הגדירו: A קבוצה חסומה.
A מוכלת בRn חסומה אם אפשר להקיף אותה בעיגול (או ריבוע)
מהו משפט בולצאנו-ויירשטראס (מאינפי 1)?
בולצאנו ויירשטראס:
לכל סדרה חסומה יש תת סידרה מתכנסת.
(ההוכחה היא בעזרת הלמה של קנטור, שאומרת שבמצב שבתמונה יש נקודה C המשותפת לכל הקטעים ההולכים וקטנים ומוכלים אחד בשני. אפשר לקחת נקודה בכל תת קטע כזה וכך ליצור תת סדרה שמתכנסת לC).
הוכחנו ש |*| => ||*||
מה זה אומר מבחינה אינטואיטיבית / גיאומטרית?
זה אומר שהריבוע שמיוצר על ידי || * || מכיל את הריבוע הנוצר על ידי | * |.
נסתכל על ריבוע ועל עיגול ברדיוס 1. נסתכל על הנקודה הירוקה. הנורמה האוקלידית תיתן לנקודה הזאת את הערך 1. לעומת זאת, נורמת המקסימום תיתן לנקודה ערך קטן מ1. (נורמת המקסימום תיתן רק לנקודה האדומה, שהיא ערך גדול יותר מהנקודה הירוקה) את הערך 1.
כלומר הנורמה האוקלידית מצמידה לערכים קטנים - ערכים גדולים יותר מאשר נורמת המקסימום.
תהי f פונקציה מRn לR, ויהי a וקטור בRn.
הגדירו: L הוא הגבול של f בa.
בפונקציות מרובות משתנים, איזו עובדה תעזור לנו פעמים רבות להוכיח את קיומו של גבול בנקודה?
זו שבתמונה.
אילו “קומבינציות” של פונקציות מRn ל Rm הן רציפות?
הגדירו:
קרן פתוחה וקרן סגורה
משפט: כל קרן פתוחה היא קבוצה…?
כל קרן פתוחה היא קבוצה פתוחה.
איחוד של קבוצות פתוחות היא קבוצה…?
איחוד של קבוצות פתוחות היא קבוצה פתוחה.
הגדירו את הסגור של A בעזרת סדרות.