פולינום טיילור

Question 1

הגדירו:

פולינום טיילור מסדר n של הפונקציה f בנקודה a

Answer 1

Question 2

נסחו את משפט טיילור.

Answer 2

Question 3

בהקשר של שאיפה ל0:

מה מקיימת השארית בצורת לגראנז’ של פולינום טיילור מדרגה n סביב הנקודה a?

Answer 3

Question 4

מהי נוסחת השארית של פולינום טיילור (לפי לגראנז’)?

Answer 4

Question 5

מה פולינום טיילור של e^x?

Answer 5

Question 6

מה פולינום טיילור של (sin(x?

Answer 6

Question 7

מה פולינום טיילור של (cos(x?

Answer 7

Question 10

יהי T_nf פולינום טיילור של הפונקציה f, ותהי T_ng פולינום טיילור של הפונקציה g.

מהו פולינום טיילור של פונקציית המכפלה שלהם?

Answer 10

כדי לקבל את פולינום טיילור של מכפלה של שתי פונקציות, צריך:

1. לקחת את פולינום טיילור של כל אחת מהן.
2. לכפול אותם.
3. לפתח את המכפלה לפי חזקות של (x-a).
4. לקחת רק את המחוברים של החזקה (x-a) עד וכולל המעלה n.

Question 11

איך נעריך את השארית של פולינום טיילור?

Answer 11

מעריכים את ההפרש בין ערכי הפונקציה לבין פולינום טיילור שהוגדר לנקודה a, על ידי בחירת נקודה b הקרובה לנקודה a בצורה הבאה:

Question 18

מהי הנגזרת של פולינום טיילור מסדר n של פונקציה f?

Answer 18

הנגזרת היא פולינום טיילור מסדר n-1 של ‘ f (=של הנגזרת של f).

Question 19

תהי T פולינום טיילור מסדר n של הפונקציה f בנקודה a.

בנקודה a:

מה היחס בין הנגזרות של T לבין הנגזרות של f?

Answer 19

עד הנגזרת הn-ית:

כל הנגזרות של T שוות לנגזרות של f.

Question 20

איך נמצא קירוב של (f(x₀ עד כדי שגיאה בגודל שנבחר?

Answer 20

הרעיון:

נמצא פולינום טיילור מתאים מסדר גדול מספיק כדי שהשגיאה תהיה קטנה מספיק. האתגר הוא למצוא מהו אותו סדר מספיק.

האלגוריתם:

1. נבחר ערך a שנוח לחשב סביבו פולינום טיילור (בדר”כ נבחר a=0).
2. נבדוק עבור איזה n מתקיים:

השגיאה (שנביע בעזרת הנוסחה המתאימה) < גודל השגיאה הרצוי.

3. נחשב את פולינום טיילור P_f,n,a כשאת a מצאנו בסעיף 1 ואת n מצאנו בסעיף 2.
4. נציב בפולינום טיילור x=x₀ והתוצאה היא הקירוב הרצוי.

Question 21

איך ניגש לפתור את השאלה שבתמונה?

Answer 21

Question 22

מהו פולינום טיילור?

Answer 22