הכללת מושג הנגזרת לפונקציות מרובות משתנים (שנה ג)

Question 1

הגדירו: מסילה.

Answer 1

Question 2

הגדירו: הקירוב הלינארי של f בa.

Answer 2

Question 3

הגדירו: ישר בR^m.

Answer 3

Question 4

מהו משפט המינימום והמקסימום של ויירשטראס הרב מימדי?

Answer 4

Question 5

תהי A מוכלת בRⁿ. תהי הנקודה a מוכלת בA.

איך נמצא משיק לA בנקודה a בעזרת קירוב לינארי?

Answer 5

מציאת משיק בנקודה a:

1. מציאת פרמטריזציה מהצורה f(t) = ( g(t),h(t),q(t) )
2. מציאת הערך t שמקיים f(t)=a
3. מציאת קירוב לינארי לפי: f(t)+(x-t)f’(t)
4. המשיק הוא התמונה של הקירוב הלינארי.

≈ כלומר יש להציג את הקירוב הלינארי כ: u+span(v)

Question 6

דיפרנציאל הוא הכללה של איזה מושג?

Answer 6

דיפרנציאל הוא הכללה של מושג הנגזרת.

Question 7

הגדירו: דיפרנציאל

Answer 7

Question 8

מהי הנגזרת של f בa?

Answer 8

Question 9

תהי A מוכלת בRⁿ. תהי הנקודה a מוכלת בA.

איך נמצא משיק לA בנקודה a בעזרת קו גובה וגרדיאנט?

Answer 9

מציאת המשיק בנקודה a:

1. (מציגים את גרף הפונקציה כקו גובה.) (מציגים את A כקו גובה של פונקציה f כלשהי).
2. מחשבים את הגרדיאנט (של f) ומציבים בו את איי.
3. משוואת המשיק היא:

px + qy = machpela-pnimit of gradient(a) and a.

כשp ו-q הם המקדמים של הגרדיאנט, (ולאחר שייצרנו מהביטוי הנ”ל ביטוי מהצורה משהו = y).

(הערה: ייתכן שמבחינה טכנית צריך להחליף את המילה “גרדיאנט” בשלב 3 במילה “דיפרנציאל”, אני לא בטוח. בכל מקרה, עושים כפי שכתבתי וכפי שמופיע בתמונה).

Question 10

תהי A מוכלת בRⁿ. תהי הנקודה a נקודה פנימית בA. תהי f פונקציה מA לR^m, ו-v מוכל בRⁿ.

הגדירו:

הנגזרת הכיוונית של f בa בכיוון הווקטור v.

Answer 10

Question 11

תהי A מוכלת בRⁿ. תהי הנקודה a נקודה פנימית בA. תהי f פונקציה מA לR^m, ו-v מוכל בRⁿ.

הסבירו את האינטואיציה מאחורי הגדרת הנגזרת הכיוונית של f בa בכיוון הווקטור v.

Answer 11

הערה: התמונה מסמסטר קודם. היא מתייחסת ספציפית לווקטור בR² ומשתמשת במשתנים עם שמות שונים.

עם זאת, היא מסבירה היטב את האינטואיציה של הגדרת נגזרת כיוונית.

Question 12

מה היחס בין דיפרנציאביליות וגזירות כיוונית?

Answer 12

Question 13

Answer 13

Question 14

הגדירו נגזרת כיוונית בעזרת גרדיאנט

Answer 14

Question 15

מה היחס בין וקטור הגרדיאנט של פונקציה בנקודה a לבין המשיק לקו הגובה בנקודה a?

Answer 15

וקטור הגרדיאנט של f(a) מאונך למשיק לקו הגובה בa.

Question 16

איך נראית הנגזרת הכיוונית של פונקציה f בנקודה P₀ בכיוון הווקטור u?

Answer 16

Question 18

מהו משפט כופלי לגרנז’?

Answer 18

למשל:

אנו רוצים למצוא את השטח המקסימלי של מלבן עם היקף מסויים (b).

נגדיר את השטח כפונקציה (x,y)f, ואת ההיקף כפונקציה (x,y)g.

אנחנו צריכים את המקסימום של f כך שאנחנו על קו גובה של g בערך b, כלומר כך ש g(x,y) = b.

Question 19

בהקשר של כופלי לגראנז’:

הגדירו: הנקודה a חשודה כקיצון

Answer 19