Formula Quantitative Methods Flashcards
Nominal Risk-Free Interest Rate
Die Nominal Risk-Free Interest Rate (nominaler risikofreier Zinssatz) ist der Zinssatz, den ein Investor erwarten kann, wenn er in ein theoretisch vollkommen risikofreies Anlageinstrument investiert. Dieser Zinssatz berücksichtigt sowohl die erwartete Inflation als auch den realen risikofreien Zinssatz.
Real Return
Die Formel für den Real Return (realer Ertrag) berücksichtigt den Nominal Return (nominaler Ertrag) und die Inflation, um den inflationsbereinigten Ertrag zu berechnen.
Holding Period Return (HPR)
Der Holding Period Return (HPR) misst die Gesamtrendite einer Investition über einen bestimmten Zeitraum, einschließlich Kapitalgewinnen und Erträgen.
Interquartile Range (IQR)
Q3 - Q1
Ist die Differenz zwischen dem niedrigsten Wert im zweiten Quartil und d
Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit
(Test of Independence)
Freiheitsgrade = (r - 1) * (c - 1)
r: Anzahl der Zeilen in der Kreuztabelle
c: Anzahl der Spalten in der Kr
Prüft, ob zwei kategoriale Variablen unabhängig voneinander sind, basierend auf einer Kreuztabelle.
f-test
größere Varianz / kleinere Varianz
Statistisches Verfahren, das verwendet wird, um Varianzen zu vergleichen
Annualized Return
Die annualisierte Rendite misst die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate einer Investition unter Berücksichtigung von Zinseszinsen. Sie ermöglicht den Vergleich von Renditen mit unterschiedlichen Zeitperioden.
Forward Exchange Rates using no arbitrage
Die Formel zur Berechnung des Forward-Wechselkurses unter der Annahme von Arbitragefreiheit basiert auf dem Konzept der Zinsparität (Interest Rate Parity, IRP). Sie stellt die Beziehung zwischen dem Kassakurs (Spot Rate), den Zinssätzen in zwei Währungsräumen und dem Terminwechselkurs (Forward Rate) her.
Time-Weighted Rate of Return (TWR)
Die Time-Weighted Rate of Return (TWR) misst die Performance eines Portfolios unabhängig von Ein- und Auszahlungen. Sie berechnet den geometrischen Durchschnitt der Renditen in jeder Zeitperiode.
RTW:
Die zeitgewichtete Rendite über den gesamten betrachteten Zeitraum.
Sie berücksichtigt die Wachstumsrate eines Portfolios unabhängig von den Zu- oder Abflüssen (Cashflows).
n:
Die Anzahl der Zeitperioden, über die die Renditen berechnet werden (z. B. Tage, Monate oder Jahre).
∏ t= 1n:
Das Produktzeichen, das angibt, dass die Renditen aller Zeitperioden t miteinander multipliziert werden.
Rt:
Die Rendite in der Periode t. Sie wird üblicherweise als prozentuale Veränderung des Portfoliowerts für diese Periode ausgedrückt.
(1 + Rt):
Der Wachstumsfaktor für die Periode t. Addiert 1 zur Rendite Rt, um sicherzustellen, dass die Berechnung korrekt mit Wachstumsfaktoren arbeitet, auch wenn Rt negativ ist.
1n:
Der Exponent, der den Durchschnitt der Renditen über alle nn Perioden berechnet, indem das geometrische Mittel verwendet wird.
Harmonic Mean
Der harmonische Mittelwert wird verwendet, wenn Datenpunkte im Verhältnis zu einem konstanten Betrag gewichtet werden sollen (Kehrwerte berechnen, Summe der Kehrwerte, harmonischer Mittelwert)
XH:
Der harmonische Mittelwert der Werte Xi. Wird verwendet, wenn es darum geht, Mittelwerte von Raten oder Verhältnissen zu berechnen.
n:
Die Anzahl der Werte Xi, die in die Berechnung des harmonischen Mittelwerts einfließen.
∑i=1n1Xi:
Die Summe der Kehrwerte der Werte Xi. Dabei ist ii der Index, der von 1 bis nn läuft.
Xi:
Die einzelnen Werte, für die der harmonische Mittelwert berechnet wird.
Mean Absolute Deviation (MAD)
Die MAD zeigt die durchschnittliche Abweichung der Werte vom Mittelwert und liefert eine einfache Einschätzung der Variabilität eines Datensatzes. Sie ist weniger anfällig für Ausreißer als die Standardabweichung.
Schritt 1: Mittelwert berechnen
Schritt 2: Abweichungen berechnen (Die Abweichung jedes Werts vom Mittelwert)
Schritt 3: Summe der absoluten Abweichungen
Schritt 4: MAD berechnen (Teile die Summe der absoluten Abweichungen durch die Anzahl der Werte)
Durchschnittliche geometrische Rendite (Compound Rate of Return)
Die geometrische Durchschnittsrendite misst die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate einer Investition, unter der Annahme, dass Erträge reinvestiert werden.
Berechnung des kontinuierlich verzinsten Ertrags (Continuously Compounded Rate of Return)
r0,T:
Die logarithmische Rendite über den Zeitraum T, gemessen von Zeitpunkt 0 bis T. Sie gibt die prozentuale Veränderung des Preises oder Wertes zwischen zwei Zeitpunkten an, logarithmisch skaliert.
S0:
Der Wert (z. B. Preis oder Kurs) des Vermögenswertes zum Ausgangszeitpunkt 0.
ST:
Der Wert (z. B. Preis oder Kurs) des Vermögenswertes zum späteren Zeitpunkt T.
ln:
Der natürliche Logarithmus (zur Basis ee), der verwendet wird, um logarithmische Renditen zu berechnen. Logarithmische Renditen haben den Vorteil der Zeit-Additivität.
Die kontinuierlich verzinste Rendite verwendet exponentielles Wachstum, bei dem die Zinsen in unendlich kleinen Zeitintervallen kontinuierlich auf das Kapital angewendet werden. Dies führt zu einer logarithmischen Berechnung.
Compound Annual Growth Rate (CAGR)
Die allgemeine Formel zur Berechnung des annualisierten Ertrags (annualized return) basiert auf der Compound Annual Growth Rate (CAGR). Sie wird verwendet, um die jährliche Rendite eines Investments zu bestimmen, das auf einem Zinseszins-Effekt basiert.
Future Value (Continuous Compounding)
Bei der kontinuierlichen Verzinsung wird der Wert des Kapitals exponentiell berechnet, da die Zinsen sofort wieder investiert werden. Dies führt zu einem höheren Endbetrag als bei anderen Verzinsungsarten.
Present Value
(jährliche Verzinsung)
Der Present Value (PV) oder Barwert ist der heutige Wert eines zukünftigen Geldbetrags, der durch Abzinsung (Discounting) berechnet wird. Er zeigt, wie viel ein Betrag, der in der Zukunft ausgezahlt wird, unter Berücksichtigung eines bestimmten Zinssatzes heute wert ist.
Present Value
(monatliche Verzinsung)
Der Present Value (PV) oder Barwert ist der heutige Wert eines zukünftigen Geldbetrags, der durch Abzinsung (Discounting) berechnet wird. Er zeigt, wie viel ein Betrag, der in der Zukunft ausgezahlt wird, unter Berücksichtigung eines bestimmten Zinssatzes heute wert ist.
Leveraged Return
Leveraged Return:
Die Rendite des Portfolios unter Einsatz von Fremdkapital (Leverage).
RPortfolio:
Die Rendite des Portfolios ohne Fremdkapital (unleveraged).
DE:
Das Verhältnis von Fremdkapital (D, Debt) zu Eigenkapital (E, Equity). Dieses Maß gibt den Hebel (Leverage Ratio) an.
RDebt:
Der Zinssatz oder die Kosten für das Fremdkapital.
RPortfolio−RDebt:
Die Differenz zwischen der Portfolio-Rendite und den Fremdkapitalkosten. Wenn positiv, erhöht der Leverage die Gesamtrendite; wenn negativ, verringert er diese.
Die Leveraged Return berücksichtigt die Wirkung von Fremdkapital (Leverage) auf die Rendite des Eigenkapitals (Equity Return). Die Hebelrendite ist die Eigenkapitalrendite nach Abzug der Kosten für das eingesetzte Fremdkapital.
Breakeven-Rate
rn:
Der Zinssatz oder die Rendite für die längere Laufzeit nn (z. B. 10 Jahre).
rk:
Der Zinssatz oder die Rendite für die kürzere Laufzeit kk (z. B. 2 Jahre).
n:
Die längere Laufzeit in Jahren.
k:
Die kürzere Laufzeit in Jahren.
Die allgemeine Formel für die Breakeven-Rate basiert auf der Gleichheit der Renditen aus einer Investition in eine längerfristige Anleihe und dem Reinvestieren in eine kürzere Anleihe.
Diese Formel berechnet, welche Wachstumsrate (z. B. durchschnittliche jährliche Inflation oder Rendite) erforderlich ist, um den Ertrag eines längeren Zeitraums (n) mit dem eines kürzeren Zeitraums (k) in Einklang zu bringen.
Coefficient of Determination (R2)
Der Bestimmtheitsmaß ist ein statistisches Maß, das angibt, wie gut ein Regressionsmodell die Varianz der abhängigen Variable erklärt. Es zeigt den Anteil der Gesamtvarianz, der durch die unabhängigen Variablen vorhergesagt werden kann.
Perzentile
approximate value of a percentile (with linear interpolation)
Der approximative Wert eines Perzentils mit linearer Interpolation wird verwendet, um den Wert eines bestimmten Perzentils in einem geordneten Datensatz zu berechnen, wenn das Perzentil nicht genau einem Datenelement entspricht.
coefficient of variation of the portfolio
Der Variationskoeffizient (Coefficient of Variation, CV) eines Portfolios misst das Verhältnis von Risiko (Volatilität) zur erwarteten Rendite.
target downside deviation / target semideviation
Die Target Downside Deviation (TDD) ist ein Risikomaß, das die Abweichungen unterhalb eines definierten Schwellenwerts (Target) in einer Renditeverteilung misst. Sie wird oft verwendet, um das Risiko eines Investments im Vergleich zu einem Zielrenditewert zu quantifizieren.
Leptokurtic, Mesokurtic, Platykurtic
Leptokurtic: Verteilungen mit hoher Kurtosis (>3); Mesokurtic: Verteilungen mit Kurtosis = 3; Platykurtic: Verteilungen mit niedriger Kurtosis (<3)
Expected Value (EV)
Es beschreibt den gewichteten Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments, wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ergebnisse sind.
Beispiel:
Ein einfacher Würfelwurf:
Mögliche Ergebnisse (xi): 1,2,3,4,5,6
Wahrscheinlichkeiten (P(xi)): P(xi)=1/6 für alle xi.
Berechnung:
EV=1/6 x (1) + 1/6 x (2) + 1/6 x (3) + 1/6 x (4) + 1/6 x (5) + 1/6 x (6) = 3.5
Bayes Formel
Die Bayes-Formel berechnet die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, gegeben dass B eingetreten ist.
Roy’s Safety-First Ratio (SFRatio)
Roy’s Safety-First Criterion ist eine Methode, die von Anlegern verwendet wird, um Portfolios zu bewerten. Es basiert auf der Idee, das Risiko eines Portfolios zu minimieren, bei dem die Rendite unter einen bestimmten Mindestschwellenwert (threshold return) fällt. Der Fokus liegt auf der Verlustvermeidung und nicht nur auf der Maximierung der Rendite.
Standard Error of the Sample Mean
Der Standardfehler gibt an, wie stark der Stichprobenmittelwert vom wahren Mittelwert der Grundgesamtheit abweichen könnte.
confidence interval
Das Konfidenzintervall gibt einen Bereich an, in dem der wahre Parameter (z. B. der Mittelwert der Grundgesamtheit) mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.
t-test
Die Formel für den t-Test wird verwendet, um die statistische Signifikanz eines Mittelwertunterschieds zwischen zwei Stichproben oder einer Stichprobe und einem bekannten Wert zu testen. Sie basiert auf der t-Verteilung und wird häufig in Hypothesentests verwendet.
z-test
Der z-Test wird verwendet, um zu prüfen, ob ein Stichprobenwert signifikant von einem bekannten Wert (z. B. Populationsmittelwert) abweicht. Er wird typischerweise bei metrischen Daten eingesetzt und basiert auf der Normalverteilung.
Spearman’s Rank Correlation Coefficient
Der Spearman-Rangkorrelationskoeffizient (auch Spearman’s Rank Correlation Coefficient, ρ oder rs) misst die Stärke und Richtung des monotonen Zusammenhangs zwischen zwei ordinalen oder metrischen Variablen. Im Gegensatz zur Pearson-Korrelation, die lineare Zusammenhänge erfasst, berücksichtigt Spearman nur die Rangordnung der Werte.
simple linear regression
Die Formel für die einfache lineare Regression beschreibt die Beziehung zwischen einer unabhängigen Variable (X) und einer abhängigen Variable (Y) durch eine Gerade.
Intercept & Slope
Die Parameter b0 (Intercept) und b1 (Slope) werden mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate (Ordinary Least Squares, OLS) geschätzt
Jährliche Volatilität (Annualisierte Volatilität)
Wenn die Renditen für kürzere Zeiträume (z. B. täglich oder monatlich) gegeben sind, wird die Volatilität wie folgt auf eine jährliche Basis hochgerechnet
Schätzung der Volatilität
Die Volatilität wird in der Finanzmathematik als Standardabweichung der Renditen über einen bestimmten Zeitraum berechnet. Sie misst die Schwankungsbreite der Renditen und dient als Maß für das Risiko einer Anlage.
t-Statistik
Die t-Statistik ist eine Kennzahl, die in der Statistik verwendet wird, um zu prüfen, ob ein bestimmter Parameter (z. B. ein Mittelwert, eine Korrelation oder eine Koeffizientenschätzung) signifikant von einem vorgegebenen Wert abweicht.
Die t-Statistik misst die Stärke des Beweises gegen die Nullhypothese. Ein hoher Betrag der t-Statistik weist auf eine signifikante Abweichung hin.
Probability Trees and Conditional Expectations
Varianzberechnung (Conditional Probability)
- Identifiziere mögliche Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten.
- Berechne den Erwartungswert (expected value) (μ).
- Finde die quadrierten Abweichungen der Ergebnisse vom Erwartungswert.
- Summiere die gewichteten quadrierten Abweichungen, um die Varianz zu berechnen.
Probability Trees and Conditional Expectations
Conditional Probability (bedingte Wahrscheinlichkeit)
Probability Trees and Conditional Expectations
Expected Value (Erwartungswert) bei conditional probability
Probability Trees and Conditional Expectations
Expected Value (Erwartungswert) bei total probability
Bayes Formel Berechnung
