Formula Derivatives Flashcards
Forward-Preis incl. Cost-of-Carry und kontinuierlicher Verzinsung
Bei kontinuierlicher Verzinsung fließen die Kosten direkt in die exponentielle Formel ein, da sie kontinuierlich berücksichtigt werden.
Der Unterschied zwischen dem Spot-Preis und dem Forward-Preis eines Derivats lässt sich durch das Cost-of-Carry-Modell beschreiben. Dieses Modell berücksichtigt Faktoren wie Finanzierungskosten, Lagerkosten und Erträge aus dem Halten des Basiswerts (z. B. Dividenden oder Zinserträge).
Forward-Preis incl. Cost-of-Carry und jährlicher Verzinsung
Bei diskreter Verzinsung werden die Kosten zunächst als Barwert hinzugefügt und dann zu einem bestimmten Zinssatz aufgezinst.
Der Unterschied zwischen dem Spot-Preis und dem Forward-Preis eines Derivats lässt sich durch das Cost-of-Carry-Modell beschreiben. Dieses Modell berücksichtigt Faktoren wie Finanzierungskosten, Lagerkosten und Erträge aus dem Halten des Basiswerts (z. B. Dividenden oder Zinserträge).
Implied Forward-Rate (mit nur einer Periode)
Ohne Exponent: Wenn der Zeitraum t2 − t1 = 1 Jahr beträgt, entfällt der Exponent, da er keinen Einfluss auf das Ergebnis hat.
Die Implied Forward Rate ist eine erwartete zukünftige Zinssatzschätzung, die aus der Renditestrukturkurve (Yield Curve) abgeleitet wird. Sie gibt an, zu welchem Zinssatz in der Zukunft ein Anleger investieren müsste, um die gleiche Rendite wie bei einer direkten Investition über einen längeren Zeitraum zu erzielen.
Mark-to-Markt (MTM) Wert eines Forwards (mit diskreter Verzinsung)
N repräsentiert die Nominale Menge oder den Vertragsumfang (z. B. die Anzahl der Einheiten des zugrunde liegenden Vermögenswerts in einem Forward- oder Futures-Kontrakt).
Der Mark-to-Market (MTM)-Wert eines Forward-Kontrakts gibt den aktuellen Wert (Gewinn oder Verlust) des Kontrakts basierend auf den aktuellen Marktbedingungen wieder. Der Wert kann durch die Differenz zwischen dem ursprünglichen Forward-Preis und dem aktuellen Forward-Preis berechnet werden, abgezinst auf den heutigen Zeitpunkt. Formel gilt für Devisen-Forwards (FX Forwards), Zins-Forwards (FRAs), Commodity Forwards (Rohstoffe), Aktien-Forwards.
Mark-to-Markt (MTM) Wert eines Devisen-Forwards (kontinuierliche Verzinsung)
Die Mark-to-Market (MTM)-Bewertung eines Devisen-Forward-Kontrakts gibt den aktuellen Wert (Gewinn oder Verlust) des Kontrakts basierend auf den aktuellen Marktbedingungen an. Der MTM-Wert ergibt sich aus der Differenz zwischen dem vertraglich vereinbarten Forward-Wechselkurs und dem aktuellen Forward-Wechselkurs, abgezinst auf den heutigen Zeitpunkt.
Forward-Preis bei Devisen (diskrete Verzinsung)
Die Formel für den Forward-Preis von Devisen basiert auf dem Konzept der Zinsparität (Interest Rate Parity), die die Beziehung zwischen dem Spot-Wechselkurs, den Zinssätzen der beiden beteiligten Währungen und dem Forward-Wechselkurs beschreibt.
Future-Preis bei Zins-Futures (diskrete Verzinsung)
Die Berechnung des Futures-Preises bei Zins-Futures basiert auf der aktuellen Rendite der zugrunde liegenden Anleihe (oder eines Geldmarktinstruments) und dem Konzept des Abzinsens zukünftiger Zahlungen. Die allgemeine Formel hängt davon ab, ob es sich um zinsbasierte Futures (Bond Futures) oder Geldmarkt-Futures (z. B. Eurodollar-Futures) handelt.
Net Payment (NP) eines Forward Rate Agreements (FRA)
Die Net Payment (NP) eines Forward Rate Agreements (FRA) gibt den tatsächlichen Zahlungsbetrag an, den der Käufer oder Verkäufer des FRA aufgrund von Zinssatzdifferenzen erhält oder zahlen muss.
Der Zahlungsbetrag wird bei Fälligkeit des FRA bar abgerechnet und auf den aktuellen Zeitpunkt abgezinst.
Zero-Rate
Die Zero Rate (Nullkuponzins) ist die Rendite einer Nullkuponanleihe, die sich auf einen bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft bezieht. Sie wird oft als diskontierter Zins für Barwerte von zukünftigen Zahlungen verwendet.
Interest Rate Swap
Periodic Settlement Value
Ein Interest Rate Swap ist ein Finanzkontrakt, bei dem zwei Parteien Zinszahlungen basierend auf einem vereinbarten Notionalbetrag austauschen. Der Periodic Settlement Value ist der Betrag, der in einer bestimmten Periode zwischen den Parteien ausgetauscht wird. Dieser Wert ergibt sich aus der Differenz zwischen dem festen Zinssatz (sN) und dem variablen Zinssatz (Markt-Referenzzins, MRR) multipliziert mit dem Notionalbetrag und der Periode.
Für den Fixzinszahler (fixed-rate payer) wird der Settlement Value wie folgt berechnet:
Put-Call Parity 1
Die Put-Call-Parität beschreibt die Beziehung zwischen dem Preis eines europäischen Call-Optionskontrakts, einer Put-Option, dem zugrunde liegenden Vermögenswert und einer risikofreien Anleihe. Sie stellt sicher, dass keine Arbitragemöglichkeiten zwischen diesen Instrumenten bestehen. Die Put-Call-Parität zeigt, dass eine Kombination aus einem Call und einer risikofreien Anleihe (mit Wert PV(X)PV(X)) den gleichen Wert hat wie eine Kombination aus einem Put und dem Basiswert.
Minimum Price of an european call option
Der Minimumpreis einer europäischen Call-Option basiert auf der Arbitragefreiheit und dem zugrunde liegenden Wert des Basiswerts. Eine europäische Call-Option darf nicht unter einem bestimmten Preis gehandelt werden, da sonst Arbitragemöglichkeiten entstehen würden.
Discount-Faktor
Der Discount-Faktor (Abzinsfaktor) wird verwendet, um den Barwert eines zukünftigen Cashflows zu berechnen. Er stellt den Wert eines bestimmten Geldbetrags dar, der zu einem späteren Zeitpunkt ausgezahlt wird, abgezinst auf den heutigen Wert.
Forward-Preis bei Devisen (kontinuierliche Verzinsung)
Für Fremdwährungsmärkte, wobei der Cost of Carry die Zinsdifferenz zwischen ausländischen und inländischen risikofreien Zinssätzen (rf−rdrf−rd) ist.
Wert eines T-Jahres-Forward-Kontrakts (für eine Long-Position) bei der Initiierung (Initiation)
Da bei Abschluss des Forward-Kontrakts keine Zahlung erfolgt.
Wert eines T-Jahres-Forward-Kontrakts (für eine Long-Position) zum Zeitpunkt des Ablaufs (Expiration)
Differenz zwischen dem Spot-Preis ST und dem ursprünglich vereinbarten Forward-Preis F0(T).
Wert eines Forward-Kontrakts (incl. Cost-Of Carry) während der Laufzeit (diskrete Verzinsung)
Bei diskreter Verzinsung werden die Kosten zunächst als Barwert hinzugefügt und dann zu einem bestimmten Zinssatz aufgezinst.
Diese beiden Variablen beschreiben den zeitlichen Bezug der Bewertung: t ist der gegenwärtige Zeitpunkt, während T in der Zukunft liegt. Der Ausdruck T−t repräsentiert die verbleibende Zeit bis zur Fälligkeit.
n der Formel steht T−tT−t für die verbleibende Zeit bis zur Fälligkeit des Forward- oder Futures-Kontrakts. Dabei bedeuten:
TT: Der Zeitpunkt der Fälligkeit des Kontrakts (z. B. in Jahren, Monaten oder Tagen). tt: Der aktuelle Zeitpunkt (z. B. in Jahren, Monaten oder Tagen).
Der Unterschied T−t gibt somit die Restlaufzeit des Kontrakts an.
Wenn z. B. ein Kontrakt eine Fälligkeit von T=2 Jahren hat und wir uns aktuell bei t=1 Jahr befinden, dann ist T − t = 1 Jahr, was die verbleibende Laufzeit bis zur Fälligkeit des Kontrakts beschreibt.
Die Restlaufzeit T−t wird in der Formel verwendet, um den Diskontierungsfaktor zu berechnen und damit den Barwert der zukünftigen Zahlungen oder Werte korrekt zu berücksichtigen.
Implied Forward-Rate (mit mehreren Perioden)
Mit Exponent:
Wenn der Zeitraum t2 − t1 länger als ein Jahr ist, wird der Exponent benötigt, um die Forward-Rate auf eine jährliche Basis zu berechnen.
Forward-Preis mit Dividenden und kontinuierlicher Verzinsung
Binomialmodell
Risikoneutrale Wahrscheinlichkeit für einen Kursanstieg
Wahrscheinlicheit für Anstieg.
Steigungsfaktor:u
Rückgangsfaktor: d
Kontinuierliche Verzinsung: Erfordert die erste Formel mit e hoch r.
Diskrete Verzinsung: Nutzt die zweite Formel mit ( 1 + r ).
Binomialmodell
Berechnung des Call-Option-Payoffs
ST = Preisbewegung nach 1 Schritt
X = Ausübungspreis
Binomialmodell
Berechnung des Put-Option-Payoffs
ST = Preisbewegung nach 1 Schritt
X = Ausübungspreis
Binomialmodell
Hedge Ratio
Berechnung des Hedge-Verhältnisses (Hedge Ratio): Das Hedge-Verhältnis gibt an, wie viele Einheiten des Basiswerts gekauft werden müssen, um eine Call-Option zu hedgen.
Das Hedge Ratio zeigt, wie sich die Option im Verhältnis zum Basiswert verhält, und wird verwendet, um ein risikofreies Portfolio zu erstellen.
c = payoff
Binomialmodell
Erstellung eines risikofreien Portfolios (Wert des Portfolios bei einem Up-Move)
Binomialmodell
Erstellung eines risikofreien Portfolios (Wert des Portfolios bei einem Down-Move)
Binomialmodell
No-Arbitrage Optionswert einer Call-Option (wenn risikolose Wahrscheinlichkeit vorliegt)
Binomialmodell
No-Arbitrage Optionswert einer Call-Option (wenn Hedge-Ratio vorliegt)
h = hedge ratio
S0 = Spot-Preis
V0 = heutige Wert des risikofreien Portfolios
Put-Call Parity
Preis der Put-Option (put price)
c0: Preis der Call-Option (call price)
p0: Preis der Put-Option (put price)
S0: Aktueller Aktienkurs (current stock price)
X: Ausübungspreis der Option (exercise price)
r: Risikofreier Zinssatz (risk-free rate)
T: Laufzeit der Option in Jahren (time to maturity)
Binomialmodell
Heutiger Wert eines risikofreien Portfolios
Diese Formel wird verwendet, wenn wir den Barwert (V0) eines risikofreien Portfolios berechnen wollen, und die Zeitspanne (T) explizit als Potenz dargestellt wird.
Barwert: V0
Risikofreies Portfolio: V1
Risikofreier Zinssatz: r
Die Restlaufzeit (Time to maturity, in Jahren oder Perioden): T
Binomialmodell
Heutiger Wert einer Option (Call) unter Verwendung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten
Binomialmodell
Heutiger Wert einer Option (Put) unter Verwendung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten
Put-Call Parity
Preis der Call-Option
c0: Preis der Call-Option (call premium).
S0: Aktueller Aktienkurs (spot price of the stock).
p0: Preis der Put-Option (put premium).
X: Ausübungspreis der Option (strike price).
r: Risikofreier Zinssatz (risk-free rate).
T: Zeit bis zur Fälligkeit (time to expiry).
Mindestpreis (Lower Bound) einer europäischen Call-Option
Der Mindestpreis für eine europäische Call-Option hängt davon ab, ob der aktuelle Preis des Basiswerts (S0S0) den diskontierten Ausübungspreis übersteigt.
Maximalpreis (Upper Bound) einer europäischen Call-Option
Maximalpreis (Upper Bound) einer europäischen Put-Option
Mindestpreis (Lower Bound) einer europäischen Put-Option
Null als untere Schranke:
Der Wert der Put-Option kann nicht negativ sein, da der Käufer einer Put-Option das Recht, aber nicht die Verpflichtung hat, den Basiswert zu verkaufen.
Differenz zwischen Barwert des Ausübungspreises und Spot-Preis:
Wenn der diskontierte Ausübungspreis höher ist als der aktuelle Preis des Basiswerts, hat die Option einen Mindestwert entsprechend dieser Differenz.
Der Ausübungspreis einer Put-Option ist der Betrag, den der Inhaber beim Verkauf des Basiswerts erhält, falls die Option ausgeübt wird.
Der Barwert dieses Betrags spiegelt den aktuellen Wert einer zukünftigen sicheren Zahlung von wider – genau wie ein risikofreier Bond.
Markt mit direktem Zugriff auf Spot-Preise (S)
Put-Call Parity 2
Discount Margin (DM) bei einer Floating Rate Note (FRN)
Die Discount Margin (DM) misst die zusätzliche Rendite (über den Referenzsatz hinaus), die ein Investor verlangt, um eine Floating Rate Note zu halten.
Sie wird geschätzt, indem die Cashflows der Anleihe abgezinst werden und der interne Zinsfuß (r) berechnet wird. Daraus wird die Differenz zur Referenzrate abgeleitet.
Internen Zinsfuß z.B. mit TVM-Funktion berechnen.
Put-Call Parity 3
Long Put + Short Call entspricht dem Verkauf des Basiswerts zu F0(T), diskontiert
