Cap9- Ottimizzazione Libera Flashcards
Punti di massimo e minimo locale e punto di sella.
Senso debole e stretto.
Data f definita in X di R^2 a valori in R.
Un punto x0,y0 è detto di…
- Minimo locale se esiste un intorno Br(x0,y0), con r«1, tale che f(x0,y0)<=f(x,y) per ogni (x,y) di Br.
- Massimo locale se esiste un intorno Br(x0,y0), con r«1, tale che f(x0,y0)>=f(x,y) per ogni (x,y) di Br.
- Sella se esiste un intorno Br(x0,y0), con r«1, e se esistono due punti (x1,y1),(x2,y1) di X tali che
f(x0,y0)<=f(x1,y1) e f(x0,y0)>=f(x2,y2).
Ovvero è un punto di minimo di f in alcune direzioni e di massimo per altre.
Se usiamo i segni <= e >= allora parliamo in senso debole, con < e > parliamo in senso stretto.
Punto di massimo e minimo assoluto.
Data f:XdiR^2–>R, e x0,y0 di X, (x0,y0) è detto punto di…
-MAX ASSOLUTO se f(x0,y0)>=f(x,y) per ogni (x,y) di X.
- MIN ASSOLUTO se f(x0,y0)<=f(x,y) per ogni (x,y) di X.
Punto Stazionario.
Data f:XdiR^2–>R, e x0,y0 di X, (x0,y0) è detto punto stazionario se:
-il gradiente in (x0,y0) è uguale =0
Teorema di Weierstrass
Data f:XdiR^2–>R continua e X un insieme compatto allora diremo che:
Esistono (xm,ym) e (xM,yM) di X tali che
- xm,ym è un punto di min assoluto di f.
- xM,yM è un punto di max assoluto di f.
Condizioni del primo ordine
Se f:XdiR^2–>R è differenziabile in x0,y0.
e x0,y0 è un punto di max o min locale per f.
Allora il gradiente di f in x0,y0 è =0.
Condizioni del secondo ordine (sufficienti)
Se f:xdiR^2–>R è di classe C^2 e
x0,y0 di X è un punto stazionario.
Allora se H(x0,y0) è
DP allora x0,y0 è punto di minimo locale,
DN allora punto di massimo locale,
Indefinita allora punto di sella.
H è simmetrica quindi ha gli autovalori reali.
Posso studiare il segno di H o con il metodo degli autovalori o con quello dei minori principali.
Condizioni del secondo ordine necessarie
Se f:xdiR^2–>R è di classe C^2 e
x0,y0 di X è un punto stazionario.
Allora se x0,y0 è un punto di max per f avremo che H è SDN in quel punto.
Se è un punto di min per f allora H è SDP.
Se è un punto di sella allora H è indefinita.
Funzione globalmente concava e convessa
Sia f:X –>R di classe c^1
e X insieme convesso.
f si dice globalmente convessa se f(x1,y1)>=
f(x2,y2)+ fx(x2,y2)(x1-x2)+fy(x2,y2)(y1-y2)..
f si dice globalmente concava se f(x1,y1)<=
f(x2,y2)+ fx(x2,y2)(x1-x2)+fy(x2,y2)(y1-y2)..
2 Teo su concavità e convessità
Sia f:X –>R di classe c^2
e X insieme convesso.
Se f è globalmente convessa su x allora H è SDP.
Se f è globalmente concava su x allora H è SDN.
E viceversa.
Se la funzione è convessa allora il punto è di minimo assoluto in x0,y0.
Se in x0,y0 la funzione è concava allora il punto è di massimo assoluto.
