Cap4- Forma Quadratica

Question 1

Cosa è una forma quadratica e come si presenta

Answer 1

è un applicazione (o funzione) Q definita nello spazio vettoriale R^n (spazio dei vettori reali a n dimensioni), a valori in R (la f restituisce uno scalare).
F: R^n -> R.

Si presenta come un polinomio di secondo grado omogeneo (tutti i termini di grado 2) nelle variabili x1…xn.

Generalizzando Q(x1…xn) = sommatoria di i=1 a n della sommatoria di j=1 a n di aijxixj.

Question 2

Matrici Associate

Answer 2

A ciascuna forma quadratica sono associate infinite matrici quadrati tali che:
F(vettore x)= (vettore x trasposto) * M * (vettore x colonna).

Esiste una sola matrice simmetrica associata alla forma quadratica.

Question 3

Segno della Forma Quadratica e 2 metodi

Answer 3

Q: R^n -> R può essere DP,SDP,DN,SDN, Indefinita.
A seconda che sia sempre >0, >=0, <0, <=0, sia positiva che negativa.

Per definire il segno possiamo studiare:
- il segno della matrice simmetrica associata.
- il segno dei minori di nord ovest.

Question 4

Segno della Forma Quadratica con la Matrice Simmetrica.

Answer 4

Data la matrice simmetrica associata alla forma quadratica, calcolo gli autovalori e sulla base del segno stabilisco se la forma quadratica è DP, SDP, DN, SDN o indefinita.

Question 5

Segno della Forma Quadratica con i Minori di Nord Ovest.

Answer 5

I minori di nord ovest di ordine k<=n di una matrice M nxn sono i determinanti delle sottomatrici di M costituite dalle prime k righe e k colonne.

1) Calcolo tutti i minori di nord ovest per ciascuna k<=n.
2)La forma quadratica è:
- DP se Mk>0 per ogni k da 1 a n.
- SDP se Mk >= 0 per ogni k da 1 a n.
- DN se (-1)^k * Mk >0 per ogni k da 1 a n.
- SDN se (-1)^k * Mk >=0 per ogni k da 1 a n.
- Indefinita altrimenti.

Question 6

Forma Quadratica Canonica

Answer 6

Quando compaiono solo i termini di 2 grado puri (es x^2,y^2…) e non i termini misti (xy, yz, …).

La matrice associata in questo caso è una matrice diagonale, quindi autovalori uguali agli elementi sulla diagonale.

Question 7

Esempi di forme quadratiche.

Answer 7

• x^2+y^2 tazza verso l’alto
• -(x^2+y^2) tazza verso il basso
• (x+y)^2 tunnel verso l’alto
• -(x+y)^2 tunnel verso il basso
• x^2-y^2 sella