Cap10- Funzioni implicite

Question 1

Funzioni Implicite

Answer 1

Data la funzione f: X –> R.
La funzione implicita è la funzione nella forma f(x,y)=0.

Question 2

Teorema di Dini, Ipotesi e Tesi

Answer 2

HP:
- f:X->R e di classe c^1
- k di R
- (x0,y0)diX tale che f(x0,y0)=k
- fy(x0,y0)!=0 in un intorno di x0.

Allora esiste una funzione y(x): Ix0 -> Iy0 tale che:
- f(x0,y(x0))=k
- y(x0)=y0
- y’(x0)= - fx(x0,y0)/ fy(x0,y0)

Question 3

Punto Regolare

Answer 3

Sono i punti (x,y) del dominio di f per cui il gradiente è diverso da 0.

Question 4

Teorema del gradiente, enunciato e ipotesi

Answer 4

Data una funzione f:X->R di classe C1 e le sue curve di livello f(x,y)=k con kdi R.
Se x0,y0 è un punto regolare allora il gradiente in x0,y0 è perpendicolare alla curva di livello f(x,y)=k in x0,y0.

Question 5

Teorema del gradiente, dimostrazione.

Answer 5

Per ipo, fy!=0 quindi posso applicare il teo di dini.

La pendenza della retta tangente alla curva di livello nel punto x0,y0
è -fx(x0,y0)/fy(x0,y0).
Il vettore associato alla retta sarà v= (1, -fx(x0,y0)/fy(x0,y0))

Facendo il prodotto scalare tra v e il gradiente in x0,y0 ottengo 0.
I vettori sono ortogonali.
Il gradiente è perpendicolare alla curva di livello.