Cap1 - Autovalori e Autovettori Flashcards
Autovettori e Autovalori data Mn(R)
M è una matrice di dimensione nxn a coefficienti reali, che chiameremo M.
v è un autovettore di M se v di R^n
-non è nullo
- esiste una costante reale λ tale che: Mv = λv.
λ è l’autovalore di M associato all’autovettore v.
DIM- L’autovalore λ* associato all’autovettore v* è determinato univocamente.
Ipotizzo λ1 e λ2 associati a v.
Allora Mv = λ1v = λ2v.
Quindi λ1v=λ2v e quindi necessariamente λ1 = λ2.
Polinomio caratteristico associato a M nella variabile λ
é il polinomio di grado n: P(λ) tale che
P(λ)= det(M-λI)
Dove I è la matrice identità di dimensione nxn (1 sulla diagonale principale).
Dove trovo gli autovalori?
Gli autovalori di una matrice M sono le radici del polinomio caratteristico P(λ).
Come trovo gli autovettori?
Poiché λ è un autovalore di M allora esiste un autovettore associato a λ non nullo tale che:
Mv=λv
ovvero Mv-λv=0
ovvero (M-λI)v=0.
Autospazio
è uno spazio vettoriale formato dagli autovettori associati allo stesso autovalore.
V(λ)= {vdiV: Mv=vλ} U {0}
perchè il vettore nullo verifica sempre Mv= vλ.
Molteplicità geometrica di un autovalore mg(λ*)
La dimensione dell’autospazio relativo a λ*.
Ovvero il numero di autovettori indipendenti associati a λ*.
Molteplicità algebrica di un autovalore ma(λ*).
Il numero di volte che λ* annulla il polinomio caratteristico P(λ).
Relazione tra 1, mg e ma.
Dato λ*, abbiamo che:
1 <= mg <= ma.
1<=mg perchè ad ogni autovalore è associato almeno un autovettore.
DIM- n Autovettori distinti associati allo stesso autovalore.
Se M ha due autovettori v1 e v2 distinti e associati allo stesso λ*.
Per ogni costante a e b di R, la combinazione av1 + bv2, se non è nulla, è ancora un autovettore associato all’autovalore λ.
Abbiamo che
Mv=vλ allora:
M(av1 + bv2)= aMv1 + bMv2 =
aλv1 + aλv2= λ (av1+av2).
Matrici Diagonali
Sono matrici quadrate di ordine n in cui solo gli elementi della diagonale principale possono essere diversi da 0.
Determinante della matrice diagonale è dato dalla produttoria degli elementi sulla diagonale.
detM= produttoria per i che va da 1 a n di aii.
Autovalori della matrice diagonale sono gli elementi sulla diagonale.
Proprietà degli autovalori (6)
1) La matrice M e la sua trasposta Mt hanno stessi autovalori.
-Mt ottenuta da M. Aij diventa Aji.-
2) Gli autovalori di una matrice simmetrica S a coefficienti reali sono tutti reali.
-S simmetrica se S=St-
3) Ad autovalori distinti corrispondono autovettori indipendenti.
4)Data una matrice nxn:
- somma degli autovalori
= somma elementi diagonale principale
= traccia M.
- produttoria autovalori = det M.
5) Se M ha n autovalori λ1…λn allora aM avrà n autovalori aλ1…λn.
Matrici simili.
M e N di dimensione nxn con coefficienti reali sono simili se esiste una matrice di trasformazione P nxn diR invertibile tale che M= P^-1NP.
2 matrici simili hanno gli stessi autovalori, determinante e rango.
Data P, P^-1 è la matrice inversa se P*P^-1= Matrice Ientità I.
DIM- 2 Matrici simili hanno uguale determinante.
det(A)= det(P^-1BP)= det(P^-1)det(B)det(P^1)= det(B).
Teorema di Binet
Se A e B sono due matrici quadrate della stessa dimensione nxn allora il determinante del prodotto è uguale al prodotto dei determinanti.
Det(AB)= det(A)*det(B).
