Cap2- Insiemi Flashcards
Punto nello spazio R^2 e R^n.
Un punto in R^2 è un vettore di due componenti (x,y) con x,y appartenenti a R.
Un punto in R^n è un vettore di n componenti (x1…xn) con x1…xn appartenenti a R.
Distanza euclidea tra due punti in R^2
é la distanza tra due punti in R^2:
||(x1,y1)-(x2,y2)|| = radice di (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2.
Intorno in R^2 e esempio grafico. (Algebricamente e Geometricamente)
Intorno Br di un punto (x0,y0) di R^2 è un insieme:
Br(x0,y0)= {(x,y)diR^2: ||(x,y)-(x0,y0)|| <r}.
Geometricamente è il cerchio di raggio r e centro x0,y0 che contiene tutti i punti (x,y) che hanno distanza <r da x0,y0.
Esempio grafico.
Insieme limitato.
L’insieme L si dice limitato se esiste un intorno Br di R^2 che lo contiene.
L sotto insieme di Br
Insieme aperto e esempio grafico.
Un insieme L si dice aperto se per ogni punto (x,y) dell’insieme L esiste un intorno Br contenuto tutto in L.
Se per ogni (x,y) di L, E Br(x,y) sottoinsieme di L.
Parte interna di un insieme e 2 affermazioni.
Dato un insieme L,
la parte interna (L con pallino sopra) è uguale all’insieme dei punti di L per cui esiste un intorno Br interamente contenuto in L.
-> Un insieme aperto coincide con la sua parte interna.
-> L’interno di un insieme è aperto.
Insieme chiuso e esempio grafico.
Un insieme si dice chiuso se il suo complementare è aperto.
Si dice chiuso se contiene tutta la sua frontiera.
Frontiera di un insieme + esempio grafico
Insieme dei punti (x,y) di R^2 tali che ogni intorno Br di x,y contiene almeno un elemento di A e uno di non A.
dA= {(x,y)diR^2: Br(x,y)intersecatoA= non nullo e Br(x,y)intersecatononA= non nullo}.
Un insieme chiuso può essere scritto come unione della sua parte interna e della sua frontiera.
Insieme ne aperti e ne chiusi + esempio grafico
Esempio, ciambellone esterno compreso e interno no.
Punto di accumulazione di R^2
x0,y0 è un punto di accumulazione se E un intorno Br che contiene punti di A diversi da x0,y0 per qualsiasi r che attribuisco all’intorno Br.
Insieme compatto
Un insieme si dice compatto se è:
- sia chiuso.
- sia limitato.
Insieme connesso
Un insieme F che non può essere rappresentato come unione di insiemi aperti disgiunti.
Non esistono A1 e A2 tali che F= A1UA2 e A1intersecatoA2=nullo.
Insieme Convesso + esempio grafico
Se per ogni coppia di punti x1,y1 e x2,y2 esiste un segmento che li congiunge ed è contenuto tutto nell’insieme.
Spazio Metrico e Distanza + esempio
Dato insieme X,
una metrica (o distanza) è una funziona che associa a due punti x,y di X un numero reale non negativo d(x,y).
d: X x X-> R.
per d valgono le seguenti proprietà:
- d(x,y) >= 0 per ogni x e y di X.
- d(x,y) = 0 se e solo se x=y per ogni x e y di X.
- d(x,y) = d(y,x) per ogni x e y di X.
- d(x,y) <= d(x,s) + d(s,y) per ogni x,s,y di X.
Uno spazio metrico è un insieme X in cui è definita una metrica d.
(X,d).
Es. R^2 munito della distanza euclidea è uno spazio metrico.
Spazio Normato e Norma + esempio
Dato insieme X,
una norma è una funzione ||-||che associa a ogni vettore di X un numero reale non negativo.
||-||: X -> R.
per ||-|| valgono le seguenti proprietà:
- ||x|| >= 0 per ogni x di X.
- ||x|| = 0 se e solo se x=0 per ogni x di X.
- ||ax|| = |a|*||x|| per ogni x di X e a di R.
- ||x1+x2|| <= ||x1||+||x2|| per ogni x1,x2 di X.
Uno spazio normato è un insieme X in cui è definita una norma ||-||.
(X,||-||).
Es. R^2 munito della norma euclidea è uno spazio normato.
(la norma euclidea è la distanza euclidea).
