C21 - Triangles et cercles Flashcards
Mesure des angles opposés par le sommet
Même mesure
Mesure des angles alternes internes formés par 2 droites // et une sécante
Même mesure
Mesure des angles correspondants formés par 2 droites // et une sécante
Même mesure
SI on a des angles correspondants ou alternes internes de même mesure, les droites sont …
Parallèles
Différence dans les définitions d’un cercle de centre O et de rayon r et un disque de centre O et de rayon r ?
Cercle : l’ensembles des points M du plan tels que OM=r
Disque : l’ensemble des points M du plan tels que OM<= r
Qu’est ce que la corde d’un cercle ?
Un segment qui joint 2 points d’un cercle (situés sur le cercle)
–> Le diamètre du cercle est une corde qui passe par le centre du cercle
Qu’est ce qu’un angle inscrit dans un cercle ?
Un angle dont le sommet est sur le cercle et les côtés sont les cordes issues de ce sommet
On dit qu’il intercepte un arc noté avec une petite parenthèse au dessus
Qu’est ce qu’un angle au centre dans un cercle ?
Un angle qui a pour sommet le centre de ce cercle
Mesure des angles inscrits dans un même cercle et interceptant le même arc
Même mesure
Mesure d’un angle au centre interceptant le même arc qu’un angle inscrit
Le double
“Dans un cercle, l’angle au centre a une mesure égale au double de celle d’un angle inscrit interceptant le même arc”
NB : si l’arc est un diamètre, on retrouve un résultat déjà établit : ABC = AOC/2 = 180°/2 = 90°
Qu’est ce que deux cercles concentriques ont en commun ?
Leur milieu
Si deux cercles sont tangents extérieurement …
la distance entre les deux rayons est égale à leur somme
Si deux cercles sont tangents intérieurement …
la distance entre les deux rayons est égale à leur différence
Que penser d’un triangle dont les côtés mesurent 2, 0,5 et 3 com ?
Construction du triangle impossible car la somme des longueur de 2 côtés doit toujours être supérieure à celle du 3ème côté
Propriétés du triangle isocèle (3)
- 2 côtés ont la même longueur
- 2 angles ont la même mesure
- la hauteur issue du sommet est aussi : médiane/médiatrice/bissectrice/axe de symétrie
Propriétés du triangle équilatéral (3)
- 3 côtés ont la même longueur
- 3 angles ont la même mesure (60°)
- les hauteurs sont aussi : médiane/médiatrice/bissectrice/axe de symétrie
Qu’est ce la médiane d’un triangle ?
La droite issue d’un sommet et passant par le milieu du coté opposé
On dit qu’elle est la médiane (AA’) relative au côté {BC}
Propriétés des médianes d’un triangle
Dans un triangle, une médiane est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé.
- Chaque médiane divise un triangle en deux triangles d’aires égales.
- Les 3 médianes sont concourantes
- Le point de concours est le CENTRE DE GRAVITE du triangle et se situe aux 2/3 du segment partant du sommet
En mathématiques, des droites concourantes sont des droites qui ont un point d’intersection commun, ce point étant appelé point de concours
Lorsque seules deux droites sont en jeu, le fait qu’elles soient concourantes est équivalent au fait qu’elles soient sécantes, ce qui fait que le vocable ne s’emploie pas dans ce cadre.
En revanche, à partir de trois droites en présence, les deux propriétés ne sont pas équivalentes : trois droites concourantes sont nécessairement sécantes deux à deux mais l’implication réciproque est fausse. Par exemple, les trois droites portant les côtés d’un triangle non plat sont deux à deux sécantes et pourtant il n’y a aucun point commun aux trois droites à la fois.
Dans un triangle non plat, les droites remarquables de même type (médiatrices, médianes, hauteurs ou bissectrices) sont concourantes.
Propriété des 3 médiatrices d’un triangle ?
Dans un triangle, les MEDIATRICES des trois côtés (les droites coupant les côtés à angle droit en leur milieu) sont concourantes en un point qui est le CENTRE DU CERCLE CIRCONSCRIT de ce triangle
–> car il est le seul équidistant des trois sommets, c’est-à-dire qu’il est le centre du seul cercle passant par les trois sommets.
Propriété des 3 bissectrices d’un triangle ?
Les BISSECTRICES des 3 angles d’un triangle (les demi-droites qui partagent les angles en deux angles de même mesure) sont concourantes en un point O, CENTRE DU CERCLE INSCRIT dans le triangle
–> car il est le centre du seul cercle tangent aux trois côtés
Propriété des 3 hauteurs d’un triangle ?
Les 3 hauteurs d’un TRIANGLE sont concourantes en un point H appelé ORTHOCENTRE
Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a une longueur égale à
1/2 hypoténuse
elle est un rayon du cercle puisqu’elle coupe l’hypoténuse en 2, qui est le diamètre du cercle
Mesure des 2 angles aigus d’un triangle rectangle
90° => ce sont des angles complémentaires
Dans un triangle, une droite qui passe par le milieu d’un côté //ment au 2ème côté …
Coupe le 3ème côté en son milieu
Dans un triangle, une droite qui passe par le milieu de ses 2 côtés ….
Est // au 3ème côté
Dans un triangle, quelle est la longueur du segment joignant les milieux de 2 côtés ?
La moitié de la longueur du 3ème côté
Démonstration :
Si on trace en plus la // à un des côtés qui coupe ce 3ème côté en ce milieu : on forme un //lélogramme
Comme il coupe le 3ème côté en son milieu = 1/2 du 3ème côté et l’autre segment joignant les milieux de 2 côtés aussi
Méthode pour tracer 2 angles égaux à la règle et au compas
Construire 2 // et une sécante : les angles correspondants ainsi déterminés ont même mesure
Méthode pour tracer un angle de 45° à la règle et au compas
- Tracer un angle droit
- Tracer la bissectrice de cet angle (tracer 2 arcs de cercle de centre O qui coupent les droites en A et B, puis pointe sèche en A puis en B, on trace deux arcs de cercle qui se coupent en S
Méthode pour tracer un angle de 60° à la règle et au compas
Construire un triangle équilatéral
Méthode pour tracer un angle de 30° à la règle et au compas
- Construire un triangle équilatéral
- Tracer la bissectrice
3 méthodes pour démontrer que 2 triangles sont isométriques
- Vérifier que leurs côtés ont des longueurs 2 à 2 égales
- Vérifier qu’ils ont un côté de même longueur adjacent à 2 angles respectivement de même mesure
- Vérifier qu’ils ont un angle de même mesure adjacent à 2 côtés respectivement de même longueur
Est ce que 2 triangles qui ont des angles dont les mesures sont 2 à 2 égales sont isométriques ?
Pas nécessairement : condition nécessaire mais non suffisante
Ils peuvent être seulement semblables : les angles égaux 2 à 2 et les longueurs des côtés sont proportionnelles
Méthode pour construire un triangle ABC rectangle en A à la règle et au compas
- Tracer un côté BC
- Déterminer le milieu de ce côté en traçant la médiatrice
- Tracer le cercle de diamètre BC
- Placer un point sur le cercle : un triangle inscrit dans un demi cercle est rectangle
NB : si on veut tracer un triangle rectangle isocèle : on place le point à l’intersection entre la médiatrice et le cercle
Démontrer que 2 droites sont // dans un triangle
-> Réciproque de la propriété de Thalès
a/√b = ?
a√b/b
2 méthodes de calcul de l’aire d’un triangle rectangle
- Aire = produit des 2 côtés perpendiculaires divisé par 2
- Aire = 1/2 {base x hauteur}
Que dire d’un triangle qui a ses 2 angles à la base de même mesure?
Il est isocèle
