C21 - Triangles et cercles

Question 1

Mesure des angles opposés par le sommet

Answer 1

Même mesure

Question 2

Mesure des angles alternes internes formés par 2 droites // et une sécante

Answer 2

Même mesure

Question 3

Mesure des angles correspondants formés par 2 droites // et une sécante

Answer 3

Même mesure

Question 4

SI on a des angles correspondants ou alternes internes de même mesure, les droites sont …

Answer 4

Parallèles

Question 5

Différence dans les définitions d’un cercle de centre O et de rayon r et un disque de centre O et de rayon r ?

Answer 5

Cercle : l’ensembles des points M du plan tels que OM=r

Disque : l’ensemble des points M du plan tels que OM<= r

Question 6

Qu’est ce que la corde d’un cercle ?

Answer 6

Un segment qui joint 2 points d’un cercle (situés sur le cercle)
–> Le diamètre du cercle est une corde qui passe par le centre du cercle

Question 7

Qu’est ce qu’un angle inscrit dans un cercle ?

Answer 7

Un angle dont le sommet est sur le cercle et les côtés sont les cordes issues de ce sommet
On dit qu’il intercepte un arc noté avec une petite parenthèse au dessus

Question 8

Qu’est ce qu’un angle au centre dans un cercle ?

Answer 8

Un angle qui a pour sommet le centre de ce cercle

Question 9

Mesure des angles inscrits dans un même cercle et interceptant le même arc

Answer 9

Même mesure

Question 10

Mesure d’un angle au centre interceptant le même arc qu’un angle inscrit

Answer 10

Le double

“Dans un cercle, l’angle au centre a une mesure égale au double de celle d’un angle inscrit interceptant le même arc”

NB : si l’arc est un diamètre, on retrouve un résultat déjà établit : ABC = AOC/2 = 180°/2 = 90°

Question 11

Qu’est ce que deux cercles concentriques ont en commun ?

Answer 11

Leur milieu

Question 12

Si deux cercles sont tangents extérieurement …

Answer 12

la distance entre les deux rayons est égale à leur somme

Question 13

Si deux cercles sont tangents intérieurement …

Answer 13

la distance entre les deux rayons est égale à leur différence

Question 14

Que penser d’un triangle dont les côtés mesurent 2, 0,5 et 3 com ?

Answer 14

Construction du triangle impossible car la somme des longueur de 2 côtés doit toujours être supérieure à celle du 3ème côté

Question 15

Propriétés du triangle isocèle (3)

Answer 15

• 2 côtés ont la même longueur
• 2 angles ont la même mesure
• la hauteur issue du sommet est aussi : médiane/médiatrice/bissectrice/axe de symétrie

Question 16

Propriétés du triangle équilatéral (3)

Answer 16

• 3 côtés ont la même longueur
• 3 angles ont la même mesure (60°)
• les hauteurs sont aussi : médiane/médiatrice/bissectrice/axe de symétrie

Question 17

Qu’est ce la médiane d’un triangle ?

Answer 17

La droite issue d’un sommet et passant par le milieu du coté opposé
On dit qu’elle est la médiane (AA’) relative au côté {BC}

Question 18

Propriétés des médianes d’un triangle

Answer 18

Dans un triangle, une médiane est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé.

• Chaque médiane divise un triangle en deux triangles d’aires égales.
• Les 3 médianes sont concourantes
• Le point de concours est le CENTRE DE GRAVITE du triangle et se situe aux 2/3 du segment partant du sommet

En mathématiques, des droites concourantes sont des droites qui ont un point d’intersection commun, ce point étant appelé point de concours

Lorsque seules deux droites sont en jeu, le fait qu’elles soient concourantes est équivalent au fait qu’elles soient sécantes, ce qui fait que le vocable ne s’emploie pas dans ce cadre.

En revanche, à partir de trois droites en présence, les deux propriétés ne sont pas équivalentes : trois droites concourantes sont nécessairement sécantes deux à deux mais l’implication réciproque est fausse. Par exemple, les trois droites portant les côtés d’un triangle non plat sont deux à deux sécantes et pourtant il n’y a aucun point commun aux trois droites à la fois.

Dans un triangle non plat, les droites remarquables de même type (médiatrices, médianes, hauteurs ou bissectrices) sont concourantes.

Question 19

Propriété des 3 médiatrices d’un triangle ?

Answer 19

Dans un triangle, les MEDIATRICES des trois côtés (les droites coupant les côtés à angle droit en leur milieu) sont concourantes en un point qui est le CENTRE DU CERCLE CIRCONSCRIT de ce triangle
–> car il est le seul équidistant des trois sommets, c’est-à-dire qu’il est le centre du seul cercle passant par les trois sommets.

Question 20

Propriété des 3 bissectrices d’un triangle ?

Answer 20

Les BISSECTRICES des 3 angles d’un triangle (les demi-droites qui partagent les angles en deux angles de même mesure) sont concourantes en un point O, CENTRE DU CERCLE INSCRIT dans le triangle
–> car il est le centre du seul cercle tangent aux trois côtés

Question 21

Propriété des 3 hauteurs d’un triangle ?

Answer 21

Les 3 hauteurs d’un TRIANGLE sont concourantes en un point H appelé ORTHOCENTRE

Question 22

Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a une longueur égale à

Answer 22

1/2 hypoténuse

elle est un rayon du cercle puisqu’elle coupe l’hypoténuse en 2, qui est le diamètre du cercle

Question 23

Mesure des 2 angles aigus d’un triangle rectangle

Answer 23

90° => ce sont des angles complémentaires

Question 24

Dans un triangle, une droite qui passe par le milieu d’un côté //ment au 2ème côté …

Answer 24

Coupe le 3ème côté en son milieu

Question 25

Dans un triangle, une droite qui passe par le milieu de ses 2 côtés ….

Answer 25

Est // au 3ème côté

Question 26

Dans un triangle, quelle est la longueur du segment joignant les milieux de 2 côtés ?

Answer 26

La moitié de la longueur du 3ème côté

Démonstration :
Si on trace en plus la // à un des côtés qui coupe ce 3ème côté en ce milieu : on forme un //lélogramme
Comme il coupe le 3ème côté en son milieu = 1/2 du 3ème côté et l’autre segment joignant les milieux de 2 côtés aussi

Question 27

Méthode pour tracer 2 angles égaux à la règle et au compas

Answer 27

Construire 2 // et une sécante : les angles correspondants ainsi déterminés ont même mesure

Question 28

Méthode pour tracer un angle de 45° à la règle et au compas

Answer 28

• Tracer un angle droit
• Tracer la bissectrice de cet angle (tracer 2 arcs de cercle de centre O qui coupent les droites en A et B, puis pointe sèche en A puis en B, on trace deux arcs de cercle qui se coupent en S

Question 29

Méthode pour tracer un angle de 60° à la règle et au compas

Answer 29

Construire un triangle équilatéral

Question 30

Méthode pour tracer un angle de 30° à la règle et au compas

Answer 30

• Construire un triangle équilatéral

- Tracer la bissectrice

Question 31

3 méthodes pour démontrer que 2 triangles sont isométriques

Answer 31

• Vérifier que leurs côtés ont des longueurs 2 à 2 égales
• Vérifier qu’ils ont un côté de même longueur adjacent à 2 angles respectivement de même mesure
• Vérifier qu’ils ont un angle de même mesure adjacent à 2 côtés respectivement de même longueur

Question 32

Est ce que 2 triangles qui ont des angles dont les mesures sont 2 à 2 égales sont isométriques ?

Answer 32

Pas nécessairement : condition nécessaire mais non suffisante
Ils peuvent être seulement semblables : les angles égaux 2 à 2 et les longueurs des côtés sont proportionnelles

Question 33

Méthode pour construire un triangle ABC rectangle en A à la règle et au compas

Answer 33

• Tracer un côté BC
• Déterminer le milieu de ce côté en traçant la médiatrice
• Tracer le cercle de diamètre BC
• Placer un point sur le cercle : un triangle inscrit dans un demi cercle est rectangle
  NB : si on veut tracer un triangle rectangle isocèle : on place le point à l’intersection entre la médiatrice et le cercle

Question 34

Démontrer que 2 droites sont // dans un triangle

Answer 34

-> Réciproque de la propriété de Thalès

Question 35

a/√b = ?

Answer 35

a√b/b

Question 36

2 méthodes de calcul de l’aire d’un triangle rectangle

Answer 36

• Aire = produit des 2 côtés perpendiculaires divisé par 2

- Aire = 1/2 {base x hauteur}

Question 37

Que dire d’un triangle qui a ses 2 angles à la base de même mesure?

Answer 37

Il est isocèle