C16 - Probabilités élémentaires

Question 1

Différence entre probabilité et statistique

Answer 1

• Probabilité : évènements qui ne se sont pas encore produits
• Statistiques : faits passés et quantifiés

Question 2

Lien entre probabilité et statistique

Answer 2

Loi des grands nombres, Jacques de Bernoulli
“La probabilité de l’apparition d’un résultat est pratiquement égale à la fréquence d’apparition de ce résultat quand on répète un grand nombre de fois cette expérience”

Question 3

Probabilités élémentaires:

Qu’est ce qu’une épreuve aléatoire ?

Answer 3

Une expérience dont l’issue n’est pas connue à l’avance

Ex : lancer de dés, tirage d’une carte….

Question 4

Probabilités élémentaires:
Qu’est ce que l’univers Ω ?

Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6

Answer 4

L’ensemble de tous les cas possibles

Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

Question 5

Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’un évènement ?

Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6

Answer 5

Une partie de tous les résultats possibles

Ex = Evénement A : obtenir un résultat pair
A = {2 ; 4 ; 6}

Question 6

Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’un évènement élémentaire ?

Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6

Answer 6

Un seul des résultats possibles, donc une partie à un seul élément

Ex = Evénement A : obtenir 1
A = {1}

Question 7

Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’un évènement certain ?

Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6

Answer 7

Un événement égal à Ω

Ex : B :obtenir un résultat inférieur à 8
B = Ω

Question 8

Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’un évènement impossible ?

Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6

Answer 8

Un événement égal à ∅

Ex : C :obtenir un résultat supérieur à 8
C = ∅

Question 9

Probabilités élémentaires:
Qu’est ce que deux évènements incompatibles ?

Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6

Answer 9

Deux évènements dont la réalisation simultanée est impossible

A ∩ B = ∅

Question 10

Pourquoi dit-on que l’évènement A U B est inclusif ?

Answer 10

Parce que l’évènement A U B est constitué des issues qui réalisent soit A, soit B, soit les 2

Question 11

Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’un évènement contraire A barre (ou non A)?

Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6

Answer 11

L’évènement réalisé lorsque A ne l’est pas

Ex : Si A est obtenir un nombre pair, alors A barre est obtenir un nombre impair

p (nonA) = 1 - p(A)
p (A U nonA) = Ω = 1
p (A ∩ nonA) = ∅ = 0

Question 12

p(A U B) = ?

Answer 12

p(A) + p(B) - p(A ∩ B)

A noter : si A ∩ B= ∅
p (A U B) = p(A) + p(B)

Question 13

Dans un lycée, on étudie 2 langues : anglais (A) ou espagnol (E)
Donner les notations de tous les évènements possibles

Answer 13

• L’élève étudie les deux langues : A ∩ E
• L’élève étudie au moins une langue : A U E
• L’élève n’étudie aucune langue : nonA ∩ nonE
• L’élève étudie seulement l’anglais : A ∩ nonE
• L’élève étudie seulement l’espagnol : nonA ∩ E
• L’élève n’étudie qu’une seule langue : (A ∩ nonE)U(nonA ∩ E)

Question 14

p(A) = ?

Answer 14

p(A) = card(A) / card(Ω)
p(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles

Question 15

Probabilités élémentaires:

Qu’est ce que deux évènements indépendants d’un même univers Ω ?

Answer 15

Quand la réalisation de A n’est pas conditionnée par celle de B
(et inversement)
Deux évènements sont indépendants si et seulement si
p(A ∩ B) = p(A) x p(B)

Question 16

Un article peut présenter de manière indépendante 2 défauts A et B
p(A) = 0,1 et p(B) = 0,04

Calculer la probabilité des évènements suivants :
E : l’article présente les deux défauts
F : l’article présente au moins un défaut
G : l’article ne présente aucun défaut
H : l’article ne présente que le défaut A

Answer 16

E : l’article présente les deux défauts
p(A ∩ B) = p(A) x p(B) : 0,1x0,04 = 0,004

F : l’article présente au moins un défaut
p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 0,1 + 0,04 - 0,1x0,04 = 0,136

G : l’article ne présente aucun défaut
p(nonA ∩ nonB) = 0,9x0,96 = 0,864
ou 1 - p(A ∩ B) = 1 - 0,004= 0,864

H : l’article ne présente que le défaut A
p(A ∩ nonB) = 0,1 x 0,96 = 0,096

Question 17

Dans un lycée, la probabilité qu’un élève étudie l’anglais (A) est de 0,75, celle qu’il étudie l’espagnol (E) est de 0,64 et celle qu’il étudie au moins une langue est de 0,91

Les évènements A et E sont-ils indépendants ?

Answer 17

Deux évènements sont indépendants si et seulement si
p(A ∩ E) = p(A) x p(E)

Ici
p(A) = 0,75
p(E) = 0,64
p(A U E) = 0,91

p(A ∩ E) = 0,75 + 0,64 - 0,91 = 0,48
p(A) x p(E) = 0,48

Les évènements A et E sont donc bien indépendants

Question 18

Calculer la probabilité d’un expérience à plusieurs épreuves à l’aide d’un arbre pondéré

Answer 18

Construire un arbre pondéré : construire un arbre de dénombrement, avec affectation à chaque branche de la probabilité correspondante

La somme des probabilité de chaque “niveau” de branche associé à un même noeud doit être égal à 1

Tout chemin allant de la racine au dernier noeud est appelé trajet

Pour calculer la probabilité d’un trajet : produit des probabilités des branches qui le composent
Pour calculer la probabilité d’un évènement : somme des probabilités de tous les trajets conduisant à cet évènement

Question 19

Calculer la probabilité d’une expérience à 2 épreuves à l’aide d’un tableau

Answer 19

• Lister en ligne les résultats possibles de la 1ère épreuve
• Lister en colonne les résultats possibles de la 2ème épreuve
• Ecrire le résultat attendu à l’intersection de chaque ligne et colonne (remplir le tableau)
• Nombre de cas favorables / Nombres de cas possibles