C16 - Probabilités élémentaires Flashcards
Différence entre probabilité et statistique
- Probabilité : évènements qui ne se sont pas encore produits
- Statistiques : faits passés et quantifiés
Lien entre probabilité et statistique
Loi des grands nombres, Jacques de Bernoulli
“La probabilité de l’apparition d’un résultat est pratiquement égale à la fréquence d’apparition de ce résultat quand on répète un grand nombre de fois cette expérience”
Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’une épreuve aléatoire ?
Une expérience dont l’issue n’est pas connue à l’avance
Ex : lancer de dés, tirage d’une carte….
Probabilités élémentaires:
Qu’est ce que l’univers Ω ?
Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6
L’ensemble de tous les cas possibles
Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’un évènement ?
Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6
Une partie de tous les résultats possibles
Ex = Evénement A : obtenir un résultat pair
A = {2 ; 4 ; 6}
Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’un évènement élémentaire ?
Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6
Un seul des résultats possibles, donc une partie à un seul élément
Ex = Evénement A : obtenir 1
A = {1}
Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’un évènement certain ?
Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6
Un événement égal à Ω
Ex : B :obtenir un résultat inférieur à 8
B = Ω
Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’un évènement impossible ?
Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6
Un événement égal à ∅
Ex : C :obtenir un résultat supérieur à 8
C = ∅
Probabilités élémentaires:
Qu’est ce que deux évènements incompatibles ?
Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6
Deux évènements dont la réalisation simultanée est impossible
A ∩ B = ∅
Pourquoi dit-on que l’évènement A U B est inclusif ?
Parce que l’évènement A U B est constitué des issues qui réalisent soit A, soit B, soit les 2
Probabilités élémentaires:
Qu’est ce qu’un évènement contraire A barre (ou non A)?
Exemple : lancer d’un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6
L’évènement réalisé lorsque A ne l’est pas
Ex : Si A est obtenir un nombre pair, alors A barre est obtenir un nombre impair
p (nonA) = 1 - p(A)
p (A U nonA) = Ω = 1
p (A ∩ nonA) = ∅ = 0
p(A U B) = ?
p(A) + p(B) - p(A ∩ B)
A noter : si A ∩ B= ∅
p (A U B) = p(A) + p(B)
Dans un lycée, on étudie 2 langues : anglais (A) ou espagnol (E)
Donner les notations de tous les évènements possibles
- L’élève étudie les deux langues : A ∩ E
- L’élève étudie au moins une langue : A U E
- L’élève n’étudie aucune langue : nonA ∩ nonE
- L’élève étudie seulement l’anglais : A ∩ nonE
- L’élève étudie seulement l’espagnol : nonA ∩ E
- L’élève n’étudie qu’une seule langue : (A ∩ nonE)U(nonA ∩ E)
p(A) = ?
p(A) = card(A) / card(Ω) p(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles
Probabilités élémentaires:
Qu’est ce que deux évènements indépendants d’un même univers Ω ?
Quand la réalisation de A n’est pas conditionnée par celle de B
(et inversement)
Deux évènements sont indépendants si et seulement si
p(A ∩ B) = p(A) x p(B)
Un article peut présenter de manière indépendante 2 défauts A et B
p(A) = 0,1 et p(B) = 0,04
Calculer la probabilité des évènements suivants :
E : l’article présente les deux défauts
F : l’article présente au moins un défaut
G : l’article ne présente aucun défaut
H : l’article ne présente que le défaut A
E : l’article présente les deux défauts
p(A ∩ B) = p(A) x p(B) : 0,1x0,04 = 0,004
F : l’article présente au moins un défaut
p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 0,1 + 0,04 - 0,1x0,04 = 0,136
G : l’article ne présente aucun défaut
p(nonA ∩ nonB) = 0,9x0,96 = 0,864
ou 1 - p(A ∩ B) = 1 - 0,004= 0,864
H : l’article ne présente que le défaut A
p(A ∩ nonB) = 0,1 x 0,96 = 0,096
Dans un lycée, la probabilité qu’un élève étudie l’anglais (A) est de 0,75, celle qu’il étudie l’espagnol (E) est de 0,64 et celle qu’il étudie au moins une langue est de 0,91
Les évènements A et E sont-ils indépendants ?
Deux évènements sont indépendants si et seulement si
p(A ∩ E) = p(A) x p(E)
Ici
p(A) = 0,75
p(E) = 0,64
p(A U E) = 0,91
p(A ∩ E) = 0,75 + 0,64 - 0,91 = 0,48
p(A) x p(E) = 0,48
Les évènements A et E sont donc bien indépendants
Calculer la probabilité d’un expérience à plusieurs épreuves à l’aide d’un arbre pondéré
Construire un arbre pondéré : construire un arbre de dénombrement, avec affectation à chaque branche de la probabilité correspondante
La somme des probabilité de chaque “niveau” de branche associé à un même noeud doit être égal à 1
Tout chemin allant de la racine au dernier noeud est appelé trajet
Pour calculer la probabilité d’un trajet : produit des probabilités des branches qui le composent
Pour calculer la probabilité d’un évènement : somme des probabilités de tous les trajets conduisant à cet évènement
Calculer la probabilité d’une expérience à 2 épreuves à l’aide d’un tableau
- Lister en ligne les résultats possibles de la 1ère épreuve
- Lister en colonne les résultats possibles de la 2ème épreuve
- Ecrire le résultat attendu à l’intersection de chaque ligne et colonne (remplir le tableau)
- Nombre de cas favorables / Nombres de cas possibles
