C17 - Polyèdres et solides de révolution Flashcards
Comment définit-on une droite dans l’espace?
Par deux points non confondus pris n’importe où dans l’espace
Comment définit-on un plan dans l’espace?
Par trois points non alignés pris n’importe où dans l’espace
Une droite définit une infinité de plans, un eu contient les 3 points
Comment dit-on que des points appartiennent au même plan ?
Ils sont coplanaires
4 points non alignés sont-ils nécessairement coplanaires?
Non, seulement si les 4 points déterminent 2 droites qui sont sécantes
Mais 3 points non alignés définissent un plan unique
L’intersection de deux plans distincts peut-être … ?
- Vide, dans le cas de 2 plans //
- Une droite
Quand dit-on que deux plans sont orthogonaux?
S’ils sont sécants en formant un angle droit
Différence entre orthogonal et perpendiculaire
- Dans l’espace :
perpendiculaire ne s’applique qu’à deux droites appartenant au même plan
orthogonal : les droites peuvent être orthogonales dans des plans distincts, ce sont leurs // qui sont perpendiculaires dans un plan - Dans le plan : utilisation des 2 termes de façon indifférenciée
Propriété : si une droite est orthogonale à un plan, alors …
Elle est orthogonale à toute droite de ce plan
Comment calculer la distance d’un point de l’espace à un plan?
En calculant la longueur du segment de l’intersection de la droite orthogonale au plan passant par ce point
Idem pour la distance entre 2 plans // : distance entre les 2 intersections des droites orthogonales
Qu’appelle-t-on un polyèdre ?
Du grec Polis: beaucoup ; Hedra : base, face
Tout volume de l’espace dont les faces (planes) sont des polygones.
(polygone : {gonia : angles} figure plane fermée limitée par plusieurs segments de droites)
Les côtés des polygones forment les arêtes du polyèdre
Les sommets des polygones sont aussi les sommets du polyèdre
Qu’est ce que la perspective cavalière ?
Une représentation plane d’un solide qui donne l’impression de volume, en conservant // les représentations de droites // ainsi que les rapports des longueurs de ses segments
Par opposition à la perspective à points de fuite, où les droites parallèles convergent vers un même point
Qu’est ce qu’un prisme ?
Un prisme est un polyèdre :
- dont les deux faces de base sont situées dans des plans // et superposables
- dont toutes les arêtes latérales sont // et ont la même longueur
- -> Sa hauteur est la distance séparant les deux plans des bases
- -> Les faces latérales sont des parallélogrammes
Qu’est ce qu’un prisme droit ?
Un prisme dont les arêtes latérales sont orthogonales aux plans des bases
–> Les faces latérales sont donc des parallélogrammes possédant un angle droit = des rectangles
Qu’est ce qu’un prisme droit à base rectangulaire ?
+ Propriétés
Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit)
Propriétés :
- 6 faces rectangulaires
- 12 arêtes qui sont {égales et //} 4 à 4
- chaque arête est perpendiculaire aux deux faces opposées
- les 4 diagonales intérieures sont égales et se coupent en leur milieu
Qu’est ce qu’un prisme droit à base carrée ?
+ Propriétés
Un cube
Propriétés :
- 6 faces carrées
- 12 arêtes de même longueur et //
- les mêmes propriétés que le parallélépipède rectangle (car le carré est un rectangle particulier)
chaque arête est perpendiculaire aux deux faces opposées
Qu’est ce qu’une pyramide?
Un polyèdre dont la base est un polygone et les faces latérales des triangles qui ont un sommet commun : le sommet de la pyramide
Le segment {SH}, avec la droite (SH) orthogonale au plan de la base et passant par le sommet, est la hauteur de la pyramide
En quoi le tétraèdre est une pyramide particulière ?
Pyramide à base triangulaire : le tétraèdre
Chaque face peut être considérée comme la base du tétraèdre
Propriétés d’une pyramide régulière
- Base est un polygone régulier
- Hauteur passe par le centre du cercle circonscrit au polygone de base
- Arêtes latérales ont la même longueur
- Faces latérales sont des triangles isocèles superposables
Différence entre hauteur de la pyramide et apothème
- Hauteur de la pyramide : droite (SH) orthogonale au plan de la base en H et passant par le sommet S
- Apothème : hauteur d’une des faces de la pyramide
Propriétés de l’apothème d’un tétraèdre régulier
- Passe par le sommet S
- Sépare les faces en 2 triangles rectangles
Propriétés du tétraèdre régulier
Toutes les faces sont des triangles équilatéraux et sont donc superposables
Qu’est ce qu’un solide de révolution ?
Un solide formé par une surface plane fermée tournant autour d’un axe situé dans le même plan et ne possédant en commun avec ce solide aucun point ou seulement des points de sa frontière
Ex : cylindre droit, cône droit et boule
Comment est formé un cylindre droit?
Par la révolution du rectangle O1ABO2 autour de l’axe de révolution (O1O2)
Sa base est un disque de centre O1 et de rayon r ou le disque de centre O2 et de rayon r (car ils sont superposables)
Sa face latérale est un rectangle de dimension égale au périmètre de la base et l’autre dimension égale à O1O2 (l’axe de révolution)
Comment est formé un cône droit?
Par la révolution du triangle rectangle SOA autour de l’axe de révolution (SO)
Sa base est un disque de centre O1 et de rayon r
Sa face latérale est une portion de disque avec AB : 2pi *r
Comment est formé une boule ?
Par la révolution d’un demi-cercle de centre O et de rayon {AO} autour de l’axe de révolution (MN) qui aussi un des axes de symétrie de la boule
Il existe une infinité d’axes de symétrie pour une boule donnée, qui passent tous par le centre de la boule
Différence entre une sphère et une boule
- Sphère : constituée des points de l’espace situés à égale distance (le rayon) d’un point appelé centre de la sphère : c’est une surface
- Boule : constituée par la révolution d’un demi-cercle de centre O et de rayon {AO} autour de l’axe de révolution : c’est un solide
Qu’est ce qu’un patron ?
C’est la représentation d’un solide “déplié” dans un plan : un assemblage de surfaces planes qui permet de construire un solide
Assemblage bien ordonné des faces d’un solide qui permet sa construction sans trou ni chevauchement des faces
Combien de patrons différents existe-t-il pour un même cube?
11
Les autres assemblages de 6 carrés isométriques ne permettraient pas la construction d’un cube : il y aurait des impossibilités de constructions : des trous, des faces qui se chevauchent
Qu’est ce qu’une section plane d’un solide?
L’ensemble des points d’intersections du plan et du solide
–> C’est la portion obtenue en “coupant” le solide
A quoi est égale la diagonale d’un carré de côté a?
a√2
A quoi est égale la diagonale d’un cube de côté a?
a√3
Calculer l’apothème d’un tétraèdre régulier
Comme l’apothème sépare les faces en 2 triangles rectangles, on utilise le théorème de Pythagore
L’arête du triangle est l’hypoténuse
Le segment est coupé en son milieu par l’apothème
AC^2 = AB^2 + (BC/2)^2
Deux droites orthogonales sont-elles toujours coplanaires ?
Non
Deux droites orthogonales à une même troisième sont-elles parallèles entre elles?
Non
Deux plans orthogonaux à un même troisième sont-ils parallèles entre eux?
Non
Qu’est ce qu’une isométrie ?
Une isométrie est une transformation qui conserve les distances: elle transforme deux pointsA et B en deux points A’ et B’ tels que AB=A’B’.
Exemple
Une translation ou une rotation sont des isométries.
Particularité du patron du pavé droit
- Ses faces sont des rectagles isométriques par paires
Combien de patrons différents existe-t-il pour un pavé droit ?
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