C19 - Premiers éléments de géométrie euclidienne

Question 1

Point commun entre une droite, une demi-droite et un segment ?

Answer 1

Ce sont des ensembles de points

Question 2

Que signifie la notation {AB)

Answer 2

La demi-droite d’origine A et passant par le point B

Question 3

Si deux droites ont au moins 2 points communs, alors elles sont … ?

Answer 3

Confondues

Elles sont sécantes si elles n’ont q’un seul point commun, leur point d’intersection

Question 4

Deux droites sont // si … ?

Answer 4

Elles n’ont aucun point commun ou elles sont confondues

Question 5

Si deux droites sont // à une même troisième alors ….

Answer 5

Elles sont // entre elles

Question 6

Si deux droites sont //, toute perpendiculaire à l’une …

Answer 6

Est perpendiculaire à l’autre

Question 7

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors …

Answer 7

Elles sont // entre elles

Question 8

Mesure de l’angle plat

Answer 8

180°

ou π radians

Question 9

Mesure de l’angle aigu

Answer 9

inférieur à 90°

Question 10

Mesure de l’angle obtus

Answer 10

Entre 90° et 180°

Question 11

Mesure de l’angle saillant

Answer 11

Entre 0° et 180°

Opposé à l’angle rentrant

Question 12

Mesure de l’angle rentrant

Answer 12

Entre 180° et 360°

Opposé à l’angle saillant

Question 13

Propriétés des angles adjacents

Answer 13

• Ont le même sommet
• Ont un coté commun
• Sont situés de part et d’autre de ce côté commun

Question 14

Propriété des angles complémentaires

Answer 14

La somme de leurs mesures est égale à 90°

Forment un angle droit

Question 15

Propriété des angles supplémentaires

Answer 15

La somme de leurs mesures est égale à 180°

Forment un angle plat

Question 16

Angles formés par 2 droites // et une droite sécante

Answer 16

• Angles correspondants
• Angles alternes internes
• Angles alternes externes

Question 17

Angles formés par 2 droites sécantes

Answer 17

2 couples d’angles opposés par le sommet

Question 18

Médiatrice d’un segment

Answer 18

Perpendiculaire à ce segment en son milieu
Partage le plan en 2 demi-plans

Si M fait partie du même plan que A, alors AM sera toujours inférieur ou égal à BM

Question 19

Tracé de la médiatrice au compas

Answer 19

• Tracer un cercle de centre A et de rayon supérieur à la moitié du segment
• Tracer un cercle de centre B et de même rayon
  –> Les 2 cercles se coupent en deux points M et N qui appartiennent à la médiatrice car ils sont équidistants de A et B (même rayon)
  La droite MN est la médiatrice du segment AB, qu’elle coupe en son milieu I

Question 20

Bissectrice d’un angle

Answer 20

La droite passant par le sommet et qui partage l’angle en 2 angles adjacents de même mesure

Tout point de la bissectrice est équidistant des cotés de l’angle

Question 21

Tracé de la bissectrice au compas

Answer 21

• Tracer un cercle de centre O et de rayon quelconque
• Tracer 2 cercles de centre M et N, les points d’intersection entre les cotés de l’angle et le 1er cercle créé
• Les 2 cercles de centre M et N se coupent en I
• La droite OI est la bissectrice des angles saillants et rentrants

Question 22

Tracé d’un parallélogramme au compas à partir de 3 points distincts (une droite et un point)

Answer 22

Soit A et la droite (MN)
- Tracer un cercle de centre N et de rayon AM
- Tracer un cercle de centre A et de rayon MN
- Les deux cercles se coupent en P
AM = NP et MN = AP
–> Quadrilatère ayant des côtés opposé égaux deux à deux : parallélogramme
–> La droite créée est // à la droite de départ

Question 23

Tracé d’une perpendiculaire au compas à partir de 3 points distincts (une droite et un point A)

Answer 23

Que le point A soit sur la droite ou non:
- Tracer un cercle de centre A, qui coupe la droite en 2 points M et N
–> AM=AN alors le point A appartient à la médiatrice du segment {MN}
- Tracer la médiatrice IJ de {MN}
(Cercle de centre M, puis N de même rayon R > MN/2)
–> La droite (IJ) est la perpendiculaire à la droite passant par le point A

Question 24

Tracé d’une tangente à un cercle en un point A

Answer 24

Si le point A est sur le cercle :
- Tracer le cercle de rayon OA : il coupe la droite OA en B
- Tracer la médiatrice de OB : c’est la tangente en A au cercle
Si le point A n’est pas sur le cercle : déterminer le point de tangence B tel que OB soit perpendiculaire à BA
- Tracer la droite OA, qui coupe le cercle en C
- Tracer le cercle de centre C et de diamètre OA, qui coupe le cercle de centre O en 2 points B et D
- Tracer les tangentes (AB) et (AD)

Question 25

Qu’est ce qu’une tangente à un cercle ?

Answer 25

Une droite ayant 1 seul point commun avec le cercle : point de tangence
Propriétés:
- Si D est tangente au cercle, alors elle est perpendiculaire au rayon OA
- Si D est est perpendiculaire au rayon OA, alors elle est tangente au cercle

Question 26

Tracer un cercle de centre O tangent à une droite d

Answer 26

Il suffit de tracer la perpendiculaire à d passant par O : coupe la droite D en A (point de tangence)
Pour cela :
- placer un point M sur d et tracer le cercle de centre O et de rayon OM : coupe la droite en M’
- tracer la médiatrice de MM’ qui passe par O car OM = OM’
–> La médiatrice coupe la droite d au point A, point de tangence
- tracer le cercle de centre O et de rayon OA

Question 27

Cercle inscrit dans un triangle, avec un des côtés qui est un diamètre

Answer 27

Le triangle est rectangle en C
Le cercle est un cercle de Thalès
Le segment OC coupe le triangle rectangle en 2 triangles isocèles

Question 28

Qu’est ce que le cercle de Thalès?

Answer 28

Un cercle inscrit dans un triangle rectagle, avec un des côtés qui est un diamètre

Question 29

Comment représenter graphiquement un irrationnel avec la méthode du cercle
Ex : racine de 15

Answer 29

Exprimer 15 comme la différence de 2 carrés parfaits
15 = 16-1 <=> 16 = 15+1 <=> 4^2 = (r15)^2 + 1^2 –> Relation de Pythagore
–> Construire le cercle de Thalès de diamètre 4 unités puis le triangle rectangle en traçant un autre côté d’1 unité

Question 30

Comment représenter graphiquement un irrationnel avec la méthode du colimaçon

Answer 30

Construction de r2 : 2 segment perpendiculaires de longueur 1
1^2 + 1^2 = 2 = r2^2
Construction de r3 : avec le segment r2 tracé précédemment, tracer un segment perpendiculaire de 1
1^2 +r2^2 = 1+2= 3 = r3^2
On peut ainsi construire r4, r5, r6…. en réutilisant les côtés construits précédemment : création d’un “escargot”

Question 31

Qu’est ce qu’une configuration de Thalès ?

Answer 31

Elle est constituée de 2 droites sécantes elles-mêmes coupées de plusieurs droites //

Question 32

Qu’est ce que la projection d’un point M sur une droite d selon la direction D?

Answer 32

C’est le point M’ sur la droite d et tel que (MM’) // D

On dit aussi que M’ est l’image de M dans la projection de direction D sur la droite d

Question 33

Propriété de Thalès

Answer 33

Soit 2 droites d1 et d2 sécantes en A
Soit B et C 2 points de d1 distincts de A
Soit B’ et C’ 2 points de d2 distincts de A
Si les droites BB’ et CC’ sont //, alors : AB/AC = AB’/AC’ = BB’/CC’

Question 34

Réciproque de la propriété de Thalès

Answer 34

Si AB/AC = AD/AE et les points ABC et ADE sont alignés dans cet ordre, alors les droites BD et CE sont //

Question 35

Méthode de reproduction d’une figure à partir d’un modèle avec programme de construction

Answer 35

• Repérer les figures géométriques de base la composant
• S’appuyer sur les propriétés géométriques de ces figures
• Décrire les étapes de la construction en détaillant pas à pas les étapes et les propriétés géométriques respectivement utilisées

NB : on peut utiliser le compas pour reporter des longueurs de segment depuis la figure
NB2 : on peut tracer des lignes supplémentaires qui participent à la reproduction (et apparaissent dans le programme de construction) mais n’apparaissent pas dans la figure à reproduire

Question 36

Méthode de construction d’une figure suivant un énoncé avec programme de construction

Answer 36

• Commencer par réalise la figure à main levée suivant les informations fournies par l’énoncé
• Repérer les figures géométriques de base la composant ainsi que leurs propriétés
• Construire la figure à l’aide des instruments à disposition
• Décrire les étapes de la construction en détaillant pas à pas les étapes et les propriétés géométriques respectivement utilisées

Question 37

Deux angles complémentaires sont-ils nécessairement adjacents?

Answer 37

Non

Question 38

Déterminer le centre O d’un cercle à l’aide d’une règle et d’un compas

Answer 38

• Tracer 2 points distincts A et B sur le cercle
• Tracer la droite (AB)
• Tracer un cercle (ou 2 points équidistants) de centre B, qui coupent la droite (AB) en 2 points E et F
• Tracer la médiatrice du segment EF : elle passe par B, est perpendiculaire à EF et coupe le cercle en un point C
  –> ABC est un angle droit, tracer le triangle rectangle ABC, avec AC l’hypoténuse qui forme le diamètre du cercle et passe par le centre
  Pour trouver le point O, tracer la médiatrice de la droite (BC) qui passe par C et coupe le cercle en un point D
  ABCD est un rectangle inscrit dans le cercle : ses diagonales sont sécantes et l’intersection est le point O
  On peut dire aussi qu’il y a 2 triangles rectangles inscrits dans le cercle et que le point O est l’intersection des hypoténuses diamètres du même cercle