C19 - Premiers éléments de géométrie euclidienne Flashcards
Point commun entre une droite, une demi-droite et un segment ?
Ce sont des ensembles de points
Que signifie la notation {AB)
La demi-droite d’origine A et passant par le point B
Si deux droites ont au moins 2 points communs, alors elles sont … ?
Confondues
Elles sont sécantes si elles n’ont q’un seul point commun, leur point d’intersection
Deux droites sont // si … ?
Elles n’ont aucun point commun ou elles sont confondues
Si deux droites sont // à une même troisième alors ….
Elles sont // entre elles
Si deux droites sont //, toute perpendiculaire à l’une …
Est perpendiculaire à l’autre
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors …
Elles sont // entre elles
Mesure de l’angle plat
180°
ou π radians
Mesure de l’angle aigu
inférieur à 90°
Mesure de l’angle obtus
Entre 90° et 180°
Mesure de l’angle saillant
Entre 0° et 180°
Opposé à l’angle rentrant
Mesure de l’angle rentrant
Entre 180° et 360°
Opposé à l’angle saillant
Propriétés des angles adjacents
- Ont le même sommet
- Ont un coté commun
- Sont situés de part et d’autre de ce côté commun
Propriété des angles complémentaires
La somme de leurs mesures est égale à 90°
Forment un angle droit
Propriété des angles supplémentaires
La somme de leurs mesures est égale à 180°
Forment un angle plat
Angles formés par 2 droites // et une droite sécante
- Angles correspondants
- Angles alternes internes
- Angles alternes externes
Angles formés par 2 droites sécantes
2 couples d’angles opposés par le sommet
Médiatrice d’un segment
Perpendiculaire à ce segment en son milieu
Partage le plan en 2 demi-plans
Si M fait partie du même plan que A, alors AM sera toujours inférieur ou égal à BM
Tracé de la médiatrice au compas
- Tracer un cercle de centre A et de rayon supérieur à la moitié du segment
- Tracer un cercle de centre B et de même rayon
–> Les 2 cercles se coupent en deux points M et N qui appartiennent à la médiatrice car ils sont équidistants de A et B (même rayon)
La droite MN est la médiatrice du segment AB, qu’elle coupe en son milieu I
Bissectrice d’un angle
La droite passant par le sommet et qui partage l’angle en 2 angles adjacents de même mesure
Tout point de la bissectrice est équidistant des cotés de l’angle
Tracé de la bissectrice au compas
- Tracer un cercle de centre O et de rayon quelconque
- Tracer 2 cercles de centre M et N, les points d’intersection entre les cotés de l’angle et le 1er cercle créé
- Les 2 cercles de centre M et N se coupent en I
- La droite OI est la bissectrice des angles saillants et rentrants
Tracé d’un parallélogramme au compas à partir de 3 points distincts (une droite et un point)
Soit A et la droite (MN)
- Tracer un cercle de centre N et de rayon AM
- Tracer un cercle de centre A et de rayon MN
- Les deux cercles se coupent en P
AM = NP et MN = AP
–> Quadrilatère ayant des côtés opposé égaux deux à deux : parallélogramme
–> La droite créée est // à la droite de départ
Tracé d’une perpendiculaire au compas à partir de 3 points distincts (une droite et un point A)
Que le point A soit sur la droite ou non:
- Tracer un cercle de centre A, qui coupe la droite en 2 points M et N
–> AM=AN alors le point A appartient à la médiatrice du segment {MN}
- Tracer la médiatrice IJ de {MN}
(Cercle de centre M, puis N de même rayon R > MN/2)
–> La droite (IJ) est la perpendiculaire à la droite passant par le point A
Tracé d’une tangente à un cercle en un point A
Si le point A est sur le cercle :
- Tracer le cercle de rayon OA : il coupe la droite OA en B
- Tracer la médiatrice de OB : c’est la tangente en A au cercle
Si le point A n’est pas sur le cercle : déterminer le point de tangence B tel que OB soit perpendiculaire à BA
- Tracer la droite OA, qui coupe le cercle en C
- Tracer le cercle de centre C et de diamètre OA, qui coupe le cercle de centre O en 2 points B et D
- Tracer les tangentes (AB) et (AD)
Qu’est ce qu’une tangente à un cercle ?
Une droite ayant 1 seul point commun avec le cercle : point de tangence
Propriétés:
- Si D est tangente au cercle, alors elle est perpendiculaire au rayon OA
- Si D est est perpendiculaire au rayon OA, alors elle est tangente au cercle
Tracer un cercle de centre O tangent à une droite d
Il suffit de tracer la perpendiculaire à d passant par O : coupe la droite D en A (point de tangence)
Pour cela :
- placer un point M sur d et tracer le cercle de centre O et de rayon OM : coupe la droite en M’
- tracer la médiatrice de MM’ qui passe par O car OM = OM’
–> La médiatrice coupe la droite d au point A, point de tangence
- tracer le cercle de centre O et de rayon OA
Cercle inscrit dans un triangle, avec un des côtés qui est un diamètre
Le triangle est rectangle en C
Le cercle est un cercle de Thalès
Le segment OC coupe le triangle rectangle en 2 triangles isocèles
Qu’est ce que le cercle de Thalès?
Un cercle inscrit dans un triangle rectagle, avec un des côtés qui est un diamètre
Comment représenter graphiquement un irrationnel avec la méthode du cercle
Ex : racine de 15
Exprimer 15 comme la différence de 2 carrés parfaits
15 = 16-1 <=> 16 = 15+1 <=> 4^2 = (r15)^2 + 1^2 –> Relation de Pythagore
–> Construire le cercle de Thalès de diamètre 4 unités puis le triangle rectangle en traçant un autre côté d’1 unité
Comment représenter graphiquement un irrationnel avec la méthode du colimaçon
Construction de r2 : 2 segment perpendiculaires de longueur 1
1^2 + 1^2 = 2 = r2^2
Construction de r3 : avec le segment r2 tracé précédemment, tracer un segment perpendiculaire de 1
1^2 +r2^2 = 1+2= 3 = r3^2
On peut ainsi construire r4, r5, r6…. en réutilisant les côtés construits précédemment : création d’un “escargot”
Qu’est ce qu’une configuration de Thalès ?
Elle est constituée de 2 droites sécantes elles-mêmes coupées de plusieurs droites //
Qu’est ce que la projection d’un point M sur une droite d selon la direction D?
C’est le point M’ sur la droite d et tel que (MM’) // D
On dit aussi que M’ est l’image de M dans la projection de direction D sur la droite d
Propriété de Thalès
Soit 2 droites d1 et d2 sécantes en A
Soit B et C 2 points de d1 distincts de A
Soit B’ et C’ 2 points de d2 distincts de A
Si les droites BB’ et CC’ sont //, alors : AB/AC = AB’/AC’ = BB’/CC’
Réciproque de la propriété de Thalès
Si AB/AC = AD/AE et les points ABC et ADE sont alignés dans cet ordre, alors les droites BD et CE sont //
Méthode de reproduction d’une figure à partir d’un modèle avec programme de construction
- Repérer les figures géométriques de base la composant
- S’appuyer sur les propriétés géométriques de ces figures
- Décrire les étapes de la construction en détaillant pas à pas les étapes et les propriétés géométriques respectivement utilisées
NB : on peut utiliser le compas pour reporter des longueurs de segment depuis la figure
NB2 : on peut tracer des lignes supplémentaires qui participent à la reproduction (et apparaissent dans le programme de construction) mais n’apparaissent pas dans la figure à reproduire
Méthode de construction d’une figure suivant un énoncé avec programme de construction
- Commencer par réalise la figure à main levée suivant les informations fournies par l’énoncé
- Repérer les figures géométriques de base la composant ainsi que leurs propriétés
- Construire la figure à l’aide des instruments à disposition
- Décrire les étapes de la construction en détaillant pas à pas les étapes et les propriétés géométriques respectivement utilisées
Deux angles complémentaires sont-ils nécessairement adjacents?
Non
Déterminer le centre O d’un cercle à l’aide d’une règle et d’un compas
- Tracer 2 points distincts A et B sur le cercle
- Tracer la droite (AB)
- Tracer un cercle (ou 2 points équidistants) de centre B, qui coupent la droite (AB) en 2 points E et F
- Tracer la médiatrice du segment EF : elle passe par B, est perpendiculaire à EF et coupe le cercle en un point C
–> ABC est un angle droit, tracer le triangle rectangle ABC, avec AC l’hypoténuse qui forme le diamètre du cercle et passe par le centre
Pour trouver le point O, tracer la médiatrice de la droite (BC) qui passe par C et coupe le cercle en un point D
ABCD est un rectangle inscrit dans le cercle : ses diagonales sont sécantes et l’intersection est le point O
On peut dire aussi qu’il y a 2 triangles rectangles inscrits dans le cercle et que le point O est l’intersection des hypoténuses diamètres du même cercle
