Aula 11 Flashcards
Valor Atual
Do juros compostos temos que
M = C x (1 + j)^t
Imagine aplicar certa quantia hoje, no momento presente VP, e o valor futuro VF que será o valor que o dinheiro assumirá daqui há t períodos, assim
VF = VP x (1 + j)^t
ou
VP = VF / (1+j)^t
Ex. 1000 reais daqui há 12 meses, representam hoje, considerando taxa de 1% ao mês
VP = 1000 / (1+0,01)^12 = 887,44
Não é correto comparar valores financeiros referentes a momentos diferentes. Sempre que for necessário, deve-se levar todos os valores para a mesma data, mediante taxa de juros ou desconto, e só então compará-los. Chamemos tal data de data focal
Ex. Pessoa deve 1.000 que seria pago daqui a 12 meses. Ela se propõe a pagar em 2 parcelas, sendo a primeira de 300 daqui a 3 meses e a segunda o valor restante, daqui a 8 meses. Considerando taxa composta de 1% ao mês, qual deve ser o valor da segunda parcela?
Para que as 2 parcelas possam substituir a parcela única, é preciso que ambos possuam o mesmo valor presente (data focal). Para isso, pode-se, para facilitar as contas, levar as 2 parcelas para a mesma data da parcela única
Levando 300 para o mês 12, deve-se “avançar” 9 meses e a parcela P para o mês 12, deve-se “avançar” 4 meses
300 * (1 + 1%)^9 + P * (1 + 1%)^4 = 1000
328,1 + P * 1,0406 = 1000
P = 645,68
Apesar da soma das parcelas ser inferior a 1000 (300 + 645,68 = 945,68), pode-se afirmar que as novas parcelas são equivalentes à uma taxa composta de 1% ao mês
Anuidades - Séries finitas de pagamentos
Muitas vezes depara-se com esquemas de pagamentos ou recebimentos que possuem uma série de prestações de igual valor
- questão clássica, apresenta uma série de pagamentos compostos por várias parcelas iguais ao longo do tempo e pergunta-se o valor atual da série
Ex. Recebimento de 4 parcelas de 2000 cada, sendo primeira parcela paga daqui a 1 mês. Considerando juros compostos de 1% ao mês, qual o valor atual desta série?
Sabe-se que o VP é igual à soma dos valores atuais das 4 parcelas, trazidas à data focal t = 0
VP = VF / (1+j)^t
VP = 2000/(1+0,01)¹ + 2000/(1+0,01)² + 2000/(1+0,01)³ + 2000/(1+0,01)^4
O valor atual destes pagamentos pode ser calculado com auxílio da tabela de valor atual para uma série de pagamentos iguais (an¬j)
- an¬j é o 1 / FRC
No ex.
Tem-se 4 recebimentos e juros 1%, o fator a4¬1% = 3,901966
Assim
VP = an¬j x P = 3,901966 * 2000 = 7803,93
Rendas postecipadas, antecipadas e diferidas
No exemplo anterior, a primeira prestação foi paga ao final do primeiro período, ou seja, t = 1
- rendas postecipadas
Pode ser que a primeira prestação seja paga já no início do primeiro período, t = 0, ou seja, à vista
- rendas antecipadas
Ex. recebimento de 4 parcelas mensais de 2000 cada, sendo a primeira parcela paga à vista, considerando juros compostos 1% ao mês, qual é o valor presente desta série de pagamentos?
Nesse caso, tem-se que t=0 já se inicia com o primeiro pagamento, não precisando ser dividida por (1+j)^t, pois já representa o próprio valor presente
Dessa forma
VP = 2000 + 2000/(1+0,01)¹ + 2000/(1+0,01)² + 2000/(1+0,01)³
VP = 2000 + 2000 * a3¬1%
Da tabela
VP = 2000 + 2,940985 * 2000 = 7881,97
Sendo ligeiramente superior ao caso das rendas postecipadas, o que é esperado, pois no caso de rendas postecipadas, há pagamento ao final do 4º mês, enquanto que na renda antecipadas é feito no instante inicial, de modo que o valor atual não é “corroído” pela taxa de juros
Ex. Compra de motocicleta, vendedor informa que pode pagar em 4 parcelas mensais de 2000 e só pagar a primeira parcela daqui a 3 meses. Considerando juros de 1% ao mês, qual o valor à vista da motocicleta?
Loja deu 3 meses de carência, trata-se de uma série diferida, pois o prazo de pagamento da primeira prestação é diferido para um momento posterior
Para se obter VP na data 0, deve-se
1. Imaginar que é uma série postecipada “normal”
Que começa em t = 2 e o primeiro pagamento em t = 3, assim
VP = 2000/(1+0,01)¹ + 2000/(1+0,01)² + 2000/(1+0,01)³ + 2000/(1+0,01)^4
Assim, se for fornecido a4¬1%
VP = 3,901966 * 2000 = 7803,93
2. Trazer o valor presente da série postecipada da data t = 2 para data t = 0
VP = 7803,93 / (1+1%)²
VP = 7650,16
Valor futuro de séries de pagamento
Do exemplo anterior de 4 recebimentos mensais de 2.000 cada, postecipados, taxa de juros 1% ao mês. Ao invés de solicitar o valor atual deste fluxo, pode ser que o devedor queira pagar toda dívida no momento final. Desa forma, deve-se calcular o valor futuro VF deste fluxo de capitais, assim
VF = VP * (1 + j)^t
VF = 2000 + 2000*(1+1%)¹ + 2000*(1+1%)² + 2000*(1+1%)³
ATENÇÃO Repare que a última prestação não precisa ser multiplicada por (1+j)^t, pois já se encontra na data focal (t=4)
Pode-se utilizar do fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos atuais simbolizado por sn¬j, sendo P o pagamento periódico e VF o valor futuro
VF = sn¬j * P
sn¬j = ( (1+j)^n - 1 ) / j
Assim, VF = 4,060401 * 2000 = 8120,80
Significa que os 4 pagamentos mensais de 2.000 equivalem a um único pagamento de 8.120,80 ao final do 4º período
Anuidades perpétuas. Séries infinitas de pagamentos
Ex. pessoa se propõe a pagar 10 reais mensais, perpetuamente. Em dado momento, combina-se de pagar de uma só vez um valor maior, que substitua toda a dívida
A fórmula que relaciona renda mensal perpétua R (10 reais), e uma taxa de juros j = 1%, e o valor atual VP destes pagamentos é
R = VP * j
Assim
10 = VP * 1% = 10/0,01 = 1000 reais
Reparece que se receber estes 1.000 e colocá-lo em uma aplicação financeira que rende juros de 1% ao mês, a cada mês os juros produzidos serão de J = 1% * 1000 = 10 reais
Digamos que tenha em mãos um título de crédito com essas características (remuneração mensal perpétua de 10 reais). Por quanto venderia este título?
O preço justo de venda é o valor atual/presente do título, pois, em tese, seria a melhor forma de valorá-lo. Assim, o preço justo do título seria de 1000 reais, a uma taxa de 1% ao mês. Qualquer valor acima ou abaixo deste, representaria ganho para o vendedor ou para o comprador
