9. MMC, MDC e divisibilidade

Question 1

PARA FIXAR

Um número inteiro A é múltiplo de um número inteiro B quando A pode ser descrito por B × k, sendo k um número inteiro.
Exemplo: os números da forma A = 7×k são múltiplos de 7 (sendo k inteiro).

Question 2

Se B divide A deixando resto zero, o que podemos concluir no tocante a divisibilidade?

Answer 2

1) B é divisor de A
2) A é divisível por B
3) A é múltiplo de B

Question 3

Como saber quando um número é divisível por 2?

Answer 3

Quando terminar em 0 ou número par.

Question 4

Como saber quando um número é divisível por 3?

Answer 4

Quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3.

Question 5

Como saber quando um número é divisível por 4?

Answer 5

Quando os dois últimos algarismos do número forem divisíveis por 4 ou terminar em 00.

Question 6

Como saber quando um número é divisível por 5?

Answer 6

Quando terminar em 0 ou 5.

Question 7

Como saber quando um número é divisível por 6?

Answer 7

Quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.

Question 8

Como saber quando um número é divisível por 8?

Answer 8

Quando os três últimos algarismos do número forem divisíveis por 8 ou terminar em 000.

Question 9

Como saber quando um número é divisível por 9?

Answer 9

Quando a soma de seus algarismos for divisível por 9.

Question 10

Como saber quando um número é divisível por 10?

Answer 10

Quando termina em 0.

Question 11

Como saber quando um número é divisível por 11?

Answer 11

Quando a soma dos algarismos de ordem par (𝑝) menos a soma dos algarismos de ordem ímpar (𝑖) é um número divisível por 11. Essa regra inclui o caso particular em que 𝑝 − 𝑖 = 0, pois 0 é divisível por 11.

Question 12

Como saber quando um número é divisível por 12?

Answer 12

Quando for divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.

Question 13

Como saber quando um número é divisível por 15?

Answer 13

Quando for divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.

Question 14

O que são números primos?

Answer 14

Números naturais maiores do que 1 que possuem somente dois divisores naturais, o 1 e ele mesmo.

Question 15

Um número natural é divisor de um número natural?

Answer 15

Quando o resultado da divisão deixar resto zero.
- 10 é divisor de 50, pois o resultado da divisão de 50 por 10 deixa resto zero;
- 33 é divisor de 99, pois o resultado da divisão de 99 por 33 deixa resto zero;
- 67 é divisor de 469, pois o resultado da divisão de 469 por 67 deixa resto zero.

Question 16

CERTO OU ERRADO

A expressão “A é divisível por B” é uma outra forma de dizer que “B é divisor de A”.

Answer 16

CERTO!

Question 17

Quais os 15 primeiros números primos?

Answer 17

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Question 18

Como determinar se um número é primo?

Answer 18

Devemos dividi-lo sucessivamente pelos números primos menores que ele e verificar se algum primo é divisor.
Se for divisível, não é primo.
Se não for divisível, é primo.

Question 19

Decomponha o número 500 em fatores primos.

Answer 19

2 x 2 x 5 x 5 x 5 = 2² x 5³

Question 20

Decomponha o número 282 em fatores primos.

Answer 20

2 ×Decomponha o número 3960 em fatores primos 3 × 47.

Question 21

Decomponha o número 3960 em fatores primos.

Answer 21

2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 11 = 2³ × 3² × 5 × 11

Question 22

PARA FIXAR

OUTRA FORMA DE DECOMPOR

Question 23

De acordo com os dados da imagem, qual o número de pares ordenados diferentes (𝑥, 𝑦) que podem ser formados?

Answer 23

Veja que a igualdade apresentada corresponde a 𝒙𝒚 = 𝟑 × 𝟏𝟔 = 48

Então a soma de x e y tem que ser 48.
(1, 48)
(2, 24)
(3, 16)
(4, 12)
(6, 8) inverter x com y
(48,1)
(24, 2)
(16, 3)
(12, 4)
(8, 6)

Logo, são 10 diferentes pares ordenados.

Question 24

Obtenha todos os divisores naturais de 500.

Answer 24

1) Fazer uma linha depois da decomposição em fatores primos.

2) Colocar o 1 no topo pois ele é divisor de todos os números.

3) Multiplicar o número da coluna do centro e multiplicar com nada número anterior da coluna da direita.

Os divisores de 500 são 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, e 500.

Question 25

Obtenha todos os divisores naturais de 282.

Answer 25

Question 26

Obtenha a quantidade de divisores naturais de 500.

Answer 26

A decomposição em fatores primos de 500 corresponde a 2² × 5³.
Os expoentes são 2 e 3.

A quantidade de divisores de 500 é (2 + 1) × (3 + 1) = 3 × 4 = 12.

Question 27

Obtenha a quantidade de divisores naturais de 2900.

Answer 27

A decomposição em fatores primos de 2900 corresponde a 2² × 5² × 29¹ .
Os expoentes são 2, 2 e 1.

A quantidade de divisores de 2900 é (2 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 3 × 3 × 2 = 18.

Question 28

Dois números naturais menores que 10 tem três e apenas três divisores. Dentre os números naturais maiores que 10 e menores que 30 há outro número com três e apenas três divisores e mais um com cinco e apenas cinco divisores.
Qual a soma desses números naturais?

Answer 28

1) Eles podem ser escritos da forma q = q³⁻¹ , com q primo.

2) Para serem menores do que dez, eles só podem ser 2² = 4 ou 3² = 9. Achamos nossos dois números.

3) Para o número maior que 10 e menor que 30 com três divisores, temos q = q², que só pode ser 5² = 25.

4) Para o número maior que 10 e menor que 30 com cinco divisores, temos q = q⁴. O único número que fica entre 10 e 30 e tem 5 divisores é 2⁴ = 16.

5) Logo, a soma dos números naturais é 4 (2²) + 9 (3²) + 25 (5²) + 16 (2⁴) = 54

Question 29

O que são os divisores inteiros de um número?

Answer 29

São os divisores inteiros de um número, podendo ser positivos e negativos.

Question 30

Obtenha os divisores inteiros de 282.

Answer 30

É só achar os valores dos números naturais e colocar o sinal negativo, ou seja, a quantidade de divisores fica o dobro.

Question 31

Answer 31

1) x + 5 deve ser divisor inteiro de 48.

2) 48 = 2⁴ × 3¹.

3) Quantidade de divisores naturais: (4 + 1) x (1 + 1) = 5 x 2 = 10

4) Como o número de divisores inteiros é sempre o dobro do número de divisores naturais, temos 20 divisores inteiros para x + 5 que farão com que a divisão seja inteira.

Question 32

Calcule o MMC entre 3960 10098.

Answer 32

1) Decompor os dois números.

2) Selecionar apenas os números primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto.

3) Logo, MMC (3960; 10098) = 2³ × 3² × 5 × 11 × 17 = 201.960

Question 33

João e Maria correm todos os dias no circuito de 1.500 m de um parque. João faz o percurso em 8 minutos e Maria em 10 minutos. Se eles partem juntos do ponto inicial do percurso, qual a diferença entre o número de metros percorridos por João e o número de metros percorridos por Maria, quando se encontrarem novamente no ponto de partida, supondo que mantenham o mesmo ritmo durante todo o exercício?

Answer 33

1) Para João e Maria se encontrarem novamente no ponto de partida, é necessário que tenha decorrido um tempo determinado que seja múltiplo tanto de 8 minutos quanto de 10 minutos.

2) Como a questão pede o próximo encontro, devemos encontrar o menor múltiplo comum entre 8 e 10. Trata- se do MMC (8; 10).

3) 8 = 2³
10 = 2 × 5

4)Devemos considerar apenas os números com maior expoente, logo, MMC (8; 10) = 2× 5 = 40. Portanto, o novo encontro ocorrerá em 40 minutos.

5) Nesse tempo, João terá dado 40/8 = 5 voltas e Maria terá dado 40/10 = 4 voltas. A diferença de número de metros percorridos entre João e Maria corresponde a 5 − 4 = 1 volta, ou seja, 1.500m.

Question 34

Calcule o MDC entre 20, 50 e 65.

Answer 34

1) 20 = 2² x 5
50 = 2 x 5²
65 = 5 x 13

2) No MDC selecionamos apenas os números primos comuns com os menores expoentes e multiplicamos.

3) O único primo comum na decomposição dos três números é o 5. Logo, o MDC é 5.

Question 35

Calcule o MDC entre 3960 10098.

Answer 35

1) 3960 = 2² x 3² x 5 x 11
10098 = 2 x 3² x 11 x 17

2) Selecionar os números primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto.

3) 2 x 3² x 11 = 198

Question 36

PARA FIXAR

Se o resultado procurado deve ser maior do que os dados do problema, use o MMC;

Se o resultado deve ser menor do que os dados, use o MDC.

A relação é inversa:
- Resultado MAIOR, use o MÍNIMO Múltiplo Comum;
- Resultado MENOR, use o MÁXIMO Divisor Comum.

O melhor caminho para acertar as questões é sempre tentar responder à seguinte pergunta: Preciso encontrar o menor múltiplo dos números em questão ou o maior divisor desses números?

Exemplo 1: Um segurança faz sua ronda a cada 30 minutos, e outro segurança faz sua ronda a cada 40 minutos. Os dois seguranças iniciaram suas rondas agora. Daqui a quanto tempo eles farão a próxima ronda juntos?
Note que o tempo procurado será maior do que os intervalos do enunciado. Logo, deve-se usar o MMC.

Exemplo 2: Em uma sala com 40 homens e 24 mulheres, é necessário montar grupos contendo a mesma quantidade de pessoas e que tenham apenas homens ou apenas mulheres, de modo que tenhamos o número máximo de pessoas em cada grupo. Qual é o número de pessoas de cada grupo formado?
Note que a quantidade procurada de pessoas em cada grupo será menor do que os dados do enunciado. Logo, deve-se usar o MDC.