9. MMC, MDC e divisibilidade Flashcards
PARA FIXAR
Um número inteiro A é múltiplo de um número inteiro B quando A pode ser descrito por B × k, sendo k um número inteiro.
Exemplo: os números da forma A = 7×k são múltiplos de 7 (sendo k inteiro).
Se B divide A deixando resto zero, o que podemos concluir no tocante a divisibilidade?
1) B é divisor de A
2) A é divisível por B
3) A é múltiplo de B
Como saber quando um número é divisível por 2?
Quando terminar em 0 ou número par.
Como saber quando um número é divisível por 3?
Quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3.
Como saber quando um número é divisível por 4?
Quando os dois últimos algarismos do número forem divisíveis por 4 ou terminar em 00.
Como saber quando um número é divisível por 5?
Quando terminar em 0 ou 5.
Como saber quando um número é divisível por 6?
Quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.
Como saber quando um número é divisível por 8?
Quando os três últimos algarismos do número forem divisíveis por 8 ou terminar em 000.
Como saber quando um número é divisível por 9?
Quando a soma de seus algarismos for divisível por 9.
Como saber quando um número é divisível por 10?
Quando termina em 0.
Como saber quando um número é divisível por 11?
Quando a soma dos algarismos de ordem par (𝑝) menos a soma dos algarismos de ordem ímpar (𝑖) é um número divisível por 11. Essa regra inclui o caso particular em que 𝑝 − 𝑖 = 0, pois 0 é divisível por 11.
Como saber quando um número é divisível por 12?
Quando for divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.
Como saber quando um número é divisível por 15?
Quando for divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.
O que são números primos?
Números naturais maiores do que 1 que possuem somente dois divisores naturais, o 1 e ele mesmo.
Um número natural é divisor de um número natural?
Quando o resultado da divisão deixar resto zero.
- 10 é divisor de 50, pois o resultado da divisão de 50 por 10 deixa resto zero;
- 33 é divisor de 99, pois o resultado da divisão de 99 por 33 deixa resto zero;
- 67 é divisor de 469, pois o resultado da divisão de 469 por 67 deixa resto zero.
CERTO OU ERRADO
A expressão “A é divisível por B” é uma outra forma de dizer que “B é divisor de A”.
CERTO!
Quais os 15 primeiros números primos?
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Como determinar se um número é primo?
Devemos dividi-lo sucessivamente pelos números primos menores que ele e verificar se algum primo é divisor.
Se for divisível, não é primo.
Se não for divisível, é primo.
Decomponha o número 500 em fatores primos.
2 x 2 x 5 x 5 x 5 = 2² x 5³
Decomponha o número 282 em fatores primos.
2 ×Decomponha o número 3960 em fatores primos 3 × 47.
Decomponha o número 3960 em fatores primos.
2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 11 = 2³ × 3² × 5 × 11
PARA FIXAR
OUTRA FORMA DE DECOMPOR
De acordo com os dados da imagem, qual o número de pares ordenados diferentes (𝑥, 𝑦) que podem ser formados?
Veja que a igualdade apresentada corresponde a 𝒙𝒚 = 𝟑 × 𝟏𝟔 = 48
Então a soma de x e y tem que ser 48.
(1, 48)
(2, 24)
(3, 16)
(4, 12)
(6, 8) inverter x com y
(48,1)
(24, 2)
(16, 3)
(12, 4)
(8, 6)
Logo, são 10 diferentes pares ordenados.
Obtenha todos os divisores naturais de 500.
1) Fazer uma linha depois da decomposição em fatores primos.
2) Colocar o 1 no topo pois ele é divisor de todos os números.
3) Multiplicar o número da coluna do centro e multiplicar com nada número anterior da coluna da direita.
Os divisores de 500 são 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, e 500.
Obtenha todos os divisores naturais de 282.
Obtenha a quantidade de divisores naturais de 500.
A decomposição em fatores primos de 500 corresponde a 2² × 5³.
Os expoentes são 2 e 3.
A quantidade de divisores de 500 é (2 + 1) × (3 + 1) = 3 × 4 = 12.
Obtenha a quantidade de divisores naturais de 2900.
A decomposição em fatores primos de 2900 corresponde a 2² × 5² × 29¹ .
Os expoentes são 2, 2 e 1.
A quantidade de divisores de 2900 é (2 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 3 × 3 × 2 = 18.
Dois números naturais menores que 10 tem três e apenas três divisores. Dentre os números naturais maiores que 10 e menores que 30 há outro número com três e apenas três divisores e mais um com cinco e apenas cinco divisores.
Qual a soma desses números naturais?
1) Eles podem ser escritos da forma q = q³⁻¹ , com q primo.
2) Para serem menores do que dez, eles só podem ser 2² = 4 ou 3² = 9. Achamos nossos dois números.
3) Para o número maior que 10 e menor que 30 com três divisores, temos q = q², que só pode ser 5² = 25.
4) Para o número maior que 10 e menor que 30 com cinco divisores, temos q = q⁴. O único número que fica entre 10 e 30 e tem 5 divisores é 2⁴ = 16.
5) Logo, a soma dos números naturais é 4 (2²) + 9 (3²) + 25 (5²) + 16 (2⁴) = 54
O que são os divisores inteiros de um número?
São os divisores inteiros de um número, podendo ser positivos e negativos.
Obtenha os divisores inteiros de 282.
É só achar os valores dos números naturais e colocar o sinal negativo, ou seja, a quantidade de divisores fica o dobro.
1) x + 5 deve ser divisor inteiro de 48.
2) 48 = 2⁴ × 3¹.
3) Quantidade de divisores naturais: (4 + 1) x (1 + 1) = 5 x 2 = 10
4) Como o número de divisores inteiros é sempre o dobro do número de divisores naturais, temos 20 divisores inteiros para x + 5 que farão com que a divisão seja inteira.
Calcule o MMC entre 3960 10098.
1) Decompor os dois números.
2) Selecionar apenas os números primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto.
3) Logo, MMC (3960; 10098) = 2³ × 3² × 5 × 11 × 17 = 201.960
João e Maria correm todos os dias no circuito de 1.500 m de um parque. João faz o percurso em 8 minutos e Maria em 10 minutos. Se eles partem juntos do ponto inicial do percurso, qual a diferença entre o número de metros percorridos por João e o número de metros percorridos por Maria, quando se encontrarem novamente no ponto de partida, supondo que mantenham o mesmo ritmo durante todo o exercício?
1) Para João e Maria se encontrarem novamente no ponto de partida, é necessário que tenha decorrido um tempo determinado que seja múltiplo tanto de 8 minutos quanto de 10 minutos.
2) Como a questão pede o próximo encontro, devemos encontrar o menor múltiplo comum entre 8 e 10. Trata- se do MMC (8; 10).
3) 8 = 2³
10 = 2 × 5
4)Devemos considerar apenas os números com maior expoente, logo, MMC (8; 10) = 2× 5 = 40. Portanto, o novo encontro ocorrerá em 40 minutos.
5) Nesse tempo, João terá dado 40/8 = 5 voltas e Maria terá dado 40/10 = 4 voltas. A diferença de número de metros percorridos entre João e Maria corresponde a 5 − 4 = 1 volta, ou seja, 1.500m.
Calcule o MDC entre 20, 50 e 65.
1) 20 = 2² x 5
50 = 2 x 5²
65 = 5 x 13
2) No MDC selecionamos apenas os números primos comuns com os menores expoentes e multiplicamos.
3) O único primo comum na decomposição dos três números é o 5. Logo, o MDC é 5.
Calcule o MDC entre 3960 10098.
1) 3960 = 2² x 3² x 5 x 11
10098 = 2 x 3² x 11 x 17
2) Selecionar os números primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto.
3) 2 x 3² x 11 = 198
PARA FIXAR
Se o resultado procurado deve ser maior do que os dados do problema, use o MMC;
Se o resultado deve ser menor do que os dados, use o MDC.
A relação é inversa:
- Resultado MAIOR, use o MÍNIMO Múltiplo Comum;
- Resultado MENOR, use o MÁXIMO Divisor Comum.
O melhor caminho para acertar as questões é sempre tentar responder à seguinte pergunta: Preciso encontrar o menor múltiplo dos números em questão ou o maior divisor desses números?
Exemplo 1: Um segurança faz sua ronda a cada 30 minutos, e outro segurança faz sua ronda a cada 40 minutos. Os dois seguranças iniciaram suas rondas agora. Daqui a quanto tempo eles farão a próxima ronda juntos?
Note que o tempo procurado será maior do que os intervalos do enunciado. Logo, deve-se usar o MMC.
Exemplo 2: Em uma sala com 40 homens e 24 mulheres, é necessário montar grupos contendo a mesma quantidade de pessoas e que tenham apenas homens ou apenas mulheres, de modo que tenhamos o número máximo de pessoas em cada grupo. Qual é o número de pessoas de cada grupo formado?
Note que a quantidade procurada de pessoas em cada grupo será menor do que os dados do enunciado. Logo, deve-se usar o MDC.
