3. Diagramas Lógicos

Question 1

O que são sentenças abertas?

Answer 1

São expressões que possuem um termo variável e não tem como atribuir valor lógico. Logo, sentenças abertas não são proposições.
Ex: x + 10 = 50
Sendo x uma variável, não sabemos se a expressão acima é verdadeira ou falsa.

Outro ex: x ≤ 𝜋
O x continua sendo uma variável e não conseguimos julgar a expressão como verdadeira ou falsa.

Question 2

CERTO OU ERRADO

As sentenças abertas não estão apenas relacionadas às expressões matemáticas.

Answer 2

CERTO!

Question 3

Como transformar uma sentença aberta em uma proposição?

Answer 3

Há dois modos:

1) Atribuir um valor a uma variável. Ex: x + 10 = 50 para 20 + 10 = 50. (Perceba que é uma proposição, só que falsa).

2) Usar quantificadores: palavras ou expressões que quando usadas em sentenças abertas, viram proposição.

Question 4

O uso de quantificador transforma uma sentença aberta em uma proposição.
Quais os dois tipos de quantificadores?

Answer 4

Universal e existencial.

Question 5

Os quantificadores universal e existencial são representados por uma expressão.
Qual a expressão que representa, respectivamente, o quantificador universal e o existencial?

Answer 5

Universal: ∀
Existencial: ∃

Question 6

O que quer dizer o quantificador ∀ (universal)?

Answer 6

Todo, para todo, para qualquer, qualquer que seja, nenhum…Pode ser negativa ou positiva.
Ele se trata de todos os elementos do conjunto.

Question 7

O que quer dizer o quantificador ∀ (universal)?

Answer 7

Algum, existe um, pelo menos um, há, existe…

Question 8

Como pode ser lida a expressão abaixo?

∀𝒙, 𝑥 + 10 = 50

Answer 8

Para qualquer valor de x, x+10 = 50. Logo, é uma proposição falsa.

Question 9

Como pode ser lida a expressão abaixo?

∀𝒙, 𝑥 ≤ 𝜋

Answer 9

Para qualquer valor de x, x será menor ou igual a 𝜋. Logo, é uma proposição falsa.

Question 10

“Ela está na praia.”

Como podemos colocar a proposição acima em diagramas?

Answer 10

PEGADINHA! A frase acima não é uma proposição.

Question 11

“Qualquer mulher está na praia.”

Como podemos colocar a proposição acima em diagramas?

Answer 11

Question 12

Como pode ser lida a expressão abaixo?

∃𝒙 ∶ 𝑥 + 10 = 50

Answer 12

Existe x, tal que x + 10 = 50. Ou seja, existe algum x que somado a 10 seja 50, logo, a proposição é verdadeira.

Question 13

Como pode ser lida a expressão abaixo?

∃𝒙 ∶ 𝑥 ≤ ∃𝒙 ∶ 𝑥 ≤ 𝜋

Answer 13

Existe algum x que será menor ou igual a 𝜋. Logo, é um proposição verdadeira.

Question 14

PARA FIXAR

Toda vez que uma expressão possuir um quantificador (algum, todo, nenhum, existe, há algum…) trata-se de uma proposição.

Question 15

O quantificador universal pode ser de dois tipos. Quais são?

Answer 15

• Afirmativa: todo, qualquer…
• Negativa: Nenhum, todo não é…

Question 16

Como podemos reescrever a frase abaixo sem mudança de sentido?

“Todo brasileiro não é mentiroso.”

Answer 16

“Nenhum brasileiro é mentiroso.”

Question 17

O que é uma Proposição Particular Afirmativa?

Answer 17

É uma proposição iniciada com um quantificador existencial, cujo predicado é uma afirmação.
Ex: Existe algum carro que é preto.

Question 18

O que é uma Proposição Particular Negativa?

Answer 18

Proposição iniciada por um quantificador existencial, cujo predicado é uma negação.
Ex: Existe algum homem que não é careca.

Question 19

Como podemos realizar a negação da proposição universal abaixo?

“Todo brasileiro gosta de futebol.”

Answer 19

Algum brasileiro não gosta de futebol.

O algum poderia ser trocado por pelo menos um, existe um, há algum…

PERCEBA QUE O PREDICADO DA PROPOSIÇÃO É SEMPRE TROCADO. GOSTA/NÃO GOSTA

Question 20

Como podemos realizar a negação da proposição universal abaixo?

“Qualquer pessoa consegue passar na prova.”

Answer 20

“Alguma pessoa não consegue passar na prova.”

Poderia ser trocado por pelo menos uma, existe alguma…

Question 21

CERTO OU ERRADO

“Todo estudante que gosta de Matemática também gosta de Ciências Biológicas.”

Podemos reescrever a proposição acima por:
“Algum estudante que não gosta de Matemática gosta de Ciências Biológicas.”

Answer 21

ERRADO! O predicado precisa ser trocado. O certo seria:
“Algum estudante que gosta de Matemática não gosta d Ciências Biológicas.”

Question 22

Como podemos realizar a afirmação da proposição universal abaixo?

Todo brasileiro não gosta de música clássica.

Answer 22

MESMA COISA! Primeiro trocamos o quantificador e depois o predicado.

“Algum brasileiro gosta de música clássica.”

Question 23

Como podemos realizar a afirmação da proposição universal abaixo?

“Nenhum investidor quer perder dinheiro.”

Answer 23

O quantificador universal “nenhum”, logo, não precisamos negar o predicado.

“Algum investidor quer perder dinheiro.”

Question 24

Como podemos realizar a afirmação da proposição existencial abaixo?

Existem pessoas que não pegaram Covid-19.

Answer 24

Mesma coisa. Muda o quantificador e troca o predicado.

“Todas as pessoas pegaram Covid-19.”

Question 25

Como podemos realizar a negação da proposição existencial abaixo?

“Pelo menos uma pessoa participou do congresso.”

Answer 25

“Nenhuma pessoa participou do congresso.”

Lembrar que quando tem o nenhum, não há necessidade de mudar o quantificador e o predicado

Question 26

O que são proposições categóricas?

Answer 26

É um tipo de proposição que estabelece relação entre dois elementos.

Question 27

O que são proposições contrárias?

Answer 27

Proposições que possuem qualidade distinta, ou seja, possui par de proposição particular afirmativo-negativo de proposições UNIVERSAIS.

Ex: Todo homem é careca. (forma A)
Todo homem não é careca.(forma E)

Question 28

O que são proposições subalternas?

Answer 28

Possuem a mesma qualidade mas diferem na quantidade.
Ex: Todo cachorro é feio (A) / Algum cachorro não é feio (I)

Nenhum estudante está preparado (E) / Algum estudante não está preparado (O)

Question 29

O que são proposições subcontrárias?

Answer 29

Possuem qualidades distintas, isto é, todo par afirmativo-negativo de proposições particulares.

Ex: Algum empresário é rico (I) / Algum empresário não é rico (O)

Question 30

O que são proposições contraditórias?

Answer 30

Diferem, simultaneamente, em qualidade e quantidade.
Ex:
A: Todo animal é dócil.
O: Algum animal não é dócil.

E: Nenhum jogador é amigável.
I: Algum jogador é amigável.

Question 31

O que representa a imagem?

Answer 31

Quadrado das opções ou quadrado lógico.

Question 32

Como podemos representar em diagramas a proposição “Todo engenheiro é responsável.”?

Answer 32

Note que engenheiros são um subconjunto dos responsáveis.

Question 33

CERTO OU ERRADO

Quando afirmamos que “Todo engenheiro é responsável.” podemos deduzir também que “Todo responsável é engenheiro”.

Answer 33

ERRADÍSSIMO! Engenheiro é subconjunto de responsável. Não podemos afirmar que todo responsável é engenheiro.

Question 34

Como podemos representar em diagramas a proposição “Nenhum engenheiro é responsável.”?

Answer 34

Question 35

Como chamamos o grupo de conjuntos que não possuem intersecção entre si?

Answer 35

Disjuntos.

Question 36

Como podemos representar por diagrama a proposição “Algum engenheiro é responsável.”?

Answer 36

Question 37

Como podemos representar por diagrama a proposição “Algum engenheiro não é responsável.”?

Answer 37

Question 38

CERTO OU ERRADO

A proposição “Todo engenheiro é responsável.” é equivalente a “Se uma pessoa é engenheiro, então ela é responsável.”

Answer 38

CERTO! Ora, se todo engenheiro é responsável, se temos uma pessoa que é engenheiro, é óbvio que ela vai ser responsável.