3. Diagramas Lógicos Flashcards
O que são sentenças abertas?
São expressões que possuem um termo variável e não tem como atribuir valor lógico. Logo, sentenças abertas não são proposições.
Ex: x + 10 = 50
Sendo x uma variável, não sabemos se a expressão acima é verdadeira ou falsa.
Outro ex: x ≤ 𝜋
O x continua sendo uma variável e não conseguimos julgar a expressão como verdadeira ou falsa.
CERTO OU ERRADO
As sentenças abertas não estão apenas relacionadas às expressões matemáticas.
CERTO!
Como transformar uma sentença aberta em uma proposição?
Há dois modos:
1) Atribuir um valor a uma variável. Ex: x + 10 = 50 para 20 + 10 = 50. (Perceba que é uma proposição, só que falsa).
2) Usar quantificadores: palavras ou expressões que quando usadas em sentenças abertas, viram proposição.
O uso de quantificador transforma uma sentença aberta em uma proposição.
Quais os dois tipos de quantificadores?
Universal e existencial.
Os quantificadores universal e existencial são representados por uma expressão.
Qual a expressão que representa, respectivamente, o quantificador universal e o existencial?
Universal: ∀
Existencial: ∃
O que quer dizer o quantificador ∀ (universal)?
Todo, para todo, para qualquer, qualquer que seja, nenhum…Pode ser negativa ou positiva.
Ele se trata de todos os elementos do conjunto.
O que quer dizer o quantificador ∀ (universal)?
Algum, existe um, pelo menos um, há, existe…
Como pode ser lida a expressão abaixo?
∀𝒙, 𝑥 + 10 = 50
Para qualquer valor de x, x+10 = 50. Logo, é uma proposição falsa.
Como pode ser lida a expressão abaixo?
∀𝒙, 𝑥 ≤ 𝜋
Para qualquer valor de x, x será menor ou igual a 𝜋. Logo, é uma proposição falsa.
“Ela está na praia.”
Como podemos colocar a proposição acima em diagramas?
PEGADINHA! A frase acima não é uma proposição.
“Qualquer mulher está na praia.”
Como podemos colocar a proposição acima em diagramas?
Como pode ser lida a expressão abaixo?
∃𝒙 ∶ 𝑥 + 10 = 50
Existe x, tal que x + 10 = 50. Ou seja, existe algum x que somado a 10 seja 50, logo, a proposição é verdadeira.
Como pode ser lida a expressão abaixo?
∃𝒙 ∶ 𝑥 ≤ ∃𝒙 ∶ 𝑥 ≤ 𝜋
Existe algum x que será menor ou igual a 𝜋. Logo, é um proposição verdadeira.
PARA FIXAR
Toda vez que uma expressão possuir um quantificador (algum, todo, nenhum, existe, há algum…) trata-se de uma proposição.
O quantificador universal pode ser de dois tipos. Quais são?
- Afirmativa: todo, qualquer…
- Negativa: Nenhum, todo não é…
Como podemos reescrever a frase abaixo sem mudança de sentido?
“Todo brasileiro não é mentiroso.”
“Nenhum brasileiro é mentiroso.”
O que é uma Proposição Particular Afirmativa?
É uma proposição iniciada com um quantificador existencial, cujo predicado é uma afirmação.
Ex: Existe algum carro que é preto.
O que é uma Proposição Particular Negativa?
Proposição iniciada por um quantificador existencial, cujo predicado é uma negação.
Ex: Existe algum homem que não é careca.
Como podemos realizar a negação da proposição universal abaixo?
“Todo brasileiro gosta de futebol.”
Algum brasileiro não gosta de futebol.
O algum poderia ser trocado por pelo menos um, existe um, há algum…
PERCEBA QUE O PREDICADO DA PROPOSIÇÃO É SEMPRE TROCADO. GOSTA/NÃO GOSTA
Como podemos realizar a negação da proposição universal abaixo?
“Qualquer pessoa consegue passar na prova.”
“Alguma pessoa não consegue passar na prova.”
Poderia ser trocado por pelo menos uma, existe alguma…
CERTO OU ERRADO
“Todo estudante que gosta de Matemática também gosta de Ciências Biológicas.”
Podemos reescrever a proposição acima por:
“Algum estudante que não gosta de Matemática gosta de Ciências Biológicas.”
ERRADO! O predicado precisa ser trocado. O certo seria:
“Algum estudante que gosta de Matemática não gosta d Ciências Biológicas.”
Como podemos realizar a afirmação da proposição universal abaixo?
Todo brasileiro não gosta de música clássica.
MESMA COISA! Primeiro trocamos o quantificador e depois o predicado.
“Algum brasileiro gosta de música clássica.”
Como podemos realizar a afirmação da proposição universal abaixo?
“Nenhum investidor quer perder dinheiro.”
O quantificador universal “nenhum”, logo, não precisamos negar o predicado.
“Algum investidor quer perder dinheiro.”
Como podemos realizar a afirmação da proposição existencial abaixo?
Existem pessoas que não pegaram Covid-19.
Mesma coisa. Muda o quantificador e troca o predicado.
“Todas as pessoas pegaram Covid-19.”
Como podemos realizar a negação da proposição existencial abaixo?
“Pelo menos uma pessoa participou do congresso.”
“Nenhuma pessoa participou do congresso.”
Lembrar que quando tem o nenhum, não há necessidade de mudar o quantificador e o predicado
O que são proposições categóricas?
É um tipo de proposição que estabelece relação entre dois elementos.
O que são proposições contrárias?
Proposições que possuem qualidade distinta, ou seja, possui par de proposição particular afirmativo-negativo de proposições UNIVERSAIS.
Ex: Todo homem é careca. (forma A)
Todo homem não é careca.(forma E)
O que são proposições subalternas?
Possuem a mesma qualidade mas diferem na quantidade.
Ex: Todo cachorro é feio (A) / Algum cachorro não é feio (I)
Nenhum estudante está preparado (E) / Algum estudante não está preparado (O)
O que são proposições subcontrárias?
Possuem qualidades distintas, isto é, todo par afirmativo-negativo de proposições particulares.
Ex: Algum empresário é rico (I) / Algum empresário não é rico (O)
O que são proposições contraditórias?
Diferem, simultaneamente, em qualidade e quantidade.
Ex:
A: Todo animal é dócil.
O: Algum animal não é dócil.
E: Nenhum jogador é amigável.
I: Algum jogador é amigável.
O que representa a imagem?
Quadrado das opções ou quadrado lógico.
Como podemos representar em diagramas a proposição “Todo engenheiro é responsável.”?
Note que engenheiros são um subconjunto dos responsáveis.
CERTO OU ERRADO
Quando afirmamos que “Todo engenheiro é responsável.” podemos deduzir também que “Todo responsável é engenheiro”.
ERRADÍSSIMO! Engenheiro é subconjunto de responsável. Não podemos afirmar que todo responsável é engenheiro.
Como podemos representar em diagramas a proposição “Nenhum engenheiro é responsável.”?
Como chamamos o grupo de conjuntos que não possuem intersecção entre si?
Disjuntos.
Como podemos representar por diagrama a proposição “Algum engenheiro é responsável.”?
Como podemos representar por diagrama a proposição “Algum engenheiro não é responsável.”?
CERTO OU ERRADO
A proposição “Todo engenheiro é responsável.” é equivalente a “Se uma pessoa é engenheiro, então ela é responsável.”
CERTO! Ora, se todo engenheiro é responsável, se temos uma pessoa que é engenheiro, é óbvio que ela vai ser responsável.
