12. Teoria dos Conjuntos Flashcards
Qual o conceito de conjunto?
Uma espécie de grupo, lista ou uma coleção de determinado objeto.
PARA FIXAR
Um conjunto pode ser apresentado de várias maneiras.
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
𝐵 = {0, 2, 4, 6, 8}
𝐶 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
𝐷 = {𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑠𝑐𝑜, 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜, 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑢𝑠, 𝐿𝑢𝑎𝑛𝑎, 𝑗𝑒𝑓𝑓𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛}
No que consiste o símbolo ∈?
Pertence a…
O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?
B ∈ A
Que B pertence a A.
O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?
Z ∉ A
Que Z não pertence a A.
O que significa o símbolo ⊂?
Está contido em…
O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?
{a, z} ⊂ A
Que “a” e “z” estão contidos em A, “a” e “z” é subconjunto de A.
PARA FIXAR
A relação de inclusão envolve 2 conjuntos: um subconjunto que que é parte de um conjunto maior.
O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?
{a, z} ⊄ B
Que a e z não pertencem a B, a e z não são subconjuntos de B
O que significa o símbolo ⊃?
Contém.
O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?
E ⊃ {𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑠𝑐𝑜, 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜}
Que E contém Francisco e Eduardo.
O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?
B ⊅ {1, 3, 5}
Que B não contém 1, 3 e 5.
Dado que A = {a, b}, quais os subconjuntos de A?
∅ (sem colchetes)
{a}
{b}
{a, b}
ou seja:
∅ ⊂ A (sem colchetes)
{a} ⊂ A
{b} ⊂ A
{a, b} ⊂ A
CERTO OU ERRADO
Dado que A = {a, b}, podemos inferir que ∅ ⊂ A.
CERTO!
No que consiste o termo “∅”?
Conjunto vazio.
PARA FIXAR
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.
PARA FIXAR
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.
PARA FIXAR
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.
No que consiste o termo “{ }”?
Conjunto vazio.
No que consiste um conjunto vazio?
Um conjunto que não possui elementos.
No que consiste um conjunto unitário?
Todo conjunto que possui um único elemento.
CERTO OU ERRADO
Qualquer conjunto é também um subconjunto de si mesmo
CERTO!
Dado que B = {a, b, c}, quais os subconjuntos do conjuntos B?
∅
{a}
{b}
{c}
{a, b}
{a, c}
{b, c}
{a, b ,c}
ou seja:
∅ ⊂ B
{a} ⊂ B
{b} ⊂ B
{c} ⊂ B
{a, b} ⊂ B
{a, c} ⊂ B
{b, c} ⊂ B
{a, b ,c} ⊂ B
O que é um subconjunto próprio e impróprio?
O subconjunto próprio é um subconjunto de um conjunto que é diferente do próprio conjunto.
Ex: B = {a, b, c}
{a} é um subconjunto próprio porque não representa a totalidade de B
O subconjunto impróprio é aquele representado pelo próprio conjunto em sua totalidade.
Ex: B = {a, b, c}
{a, b, c} é um conjunto impróprio
CERTO OU ERRADO
Os subconjuntos de um conjunto são apenas diferentes combinações de seus elementos.
CERTO!
PARA FIXAR
Se você precisar listar os subconjuntos, siga os seguintes passos:
1. O primeiro conjunto que você deve anotar como subconjunto é o conjunto vazio.
2. Depois, transforme em subconjunto cada elemento, um por um.
3. Em seguida, escreva os subconjuntos formado por pares de elementos.
4. Acabando os pares, pegue os trios e assim sucessivamente.
Seja n é o número de elementos de um conjunto A.
Qual o número de subconjuntos de A?
n (A) = 2ⁿ
ex: A = {1, 2, 3 e 4}
A terá 2⁴ subconjuntos = 16 subconjuntos
Quantos subconjuntos possui o conjunto das vogais?
As vogais possuem 5 elemento (a, e, i, o, u).
Logo, 2⁵ = 32 subconjuntos.
No que consiste o símbolo ℘?
Conjuntos das partes.
PARA FIXAR
℘(A) = {{ }, {a}, {b}, {a, b}}
Perceba que ℘(A) é formado por outros conjuntos, que são os conjuntos.
Um outro ponto que chamamos atenção é que, no conjunto das partes, listamos o conjunto vazio { } explicitamente com um dos seus elementos.
𝐹 = {1, 2, 3, {a, b, c}, {d, e, f}, {W}}
Assim como o conjunto das partes, F é um conjunto que possui como elemento outros conjuntos. Note que o conjunto {a, b, c} é um elemento de F. Nessas situações, e somente nelas, podemos escrever {a, b, c} ∈ F.
Galera, muita atenção aqui! {a, b, c} não é um subconjunto de F, é um elemento! Perceba que ele está listado juntamente com os demais elementos!
E nesses casos, quando usaremos a relação de inclusão? Veja alguns exemplos de subconjuntos de F:
* {1} ⊂ F
* {1, 2} ⊂ F
* {1, 2, 3} ⊂ F
* {{a, b, c, }} ⊂ F
* {{𝑊}} ⊂ F
* {{a, b, c}, {d, e, f}, {𝑊}} ⊂ F
Dado que o conjunto A = {𝜙, {𝜙}, 1, {1}}, quais os subconjuntos de A?
CERTO OU ERRADO
A partir do conjunto da imagem, podemos inferir que Yasmin ∉ A e Ana ∉ A.
CERTO!
Qual nome dado ao tipo de conjunto por representação da imagem?
Diagramas de Venn-Euler.
Dados os conjuntos A e B da imagem, determine A ∪ B.
A ∪ B = {1,2, 3, a, b, c}
CERTO OU ERRADO
ERRADO! Na união de dois conjuntos não se repete o elemento que contém nos dois conjuntos, que nesse caso, é o 2.
C ∪ D = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
No que consiste a operação de interseção de dois conjuntos?
Selecionar apenas os elementos em comum dos conjuntos.
Dado os dois conjuntos da imagem, determine X ∩ Z.
X ∩ Z = {B, D, C}.
O que podemos inferir sobre a região vermelha da imagem?
A ∩ B.
ou seja, elementos que pertencem tanto a A quanto a B
Qual o nome dado aos conjuntos que não possuem intersecção entre entre eles?
Conjuntos disjuntos.
Dados os conjuntos da imagem, realize a operação A - B.
A - B = {2, 4, 6}
ou seja, os elementos de A que não são elementos de B
Se A ∩ B = {1, 3, 5} e A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual o resultado de A - B?
A ∩ B = {1, 3, 5}, logo, são os três elementos em comum nos dois conjuntos.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {1, 3, 5} = **{2, 4, 6}
CERTO OU ERRADO
De acordo com a imagem, pode-se inferir que a região vermelha se trata da diferença de B e A.
ERRADO! Se trata da diferença de A e B, ou seja, os elementos que estão contido apenas em A.
CERTO OU ERRADO
Se A e B são dois conjuntos disjuntos, a operação A - B é o próprio conjunto A.
CERTO! Não existe elementos relacionados entre A e B.
No que consiste um conjunto universo?
Um conjunto que tem abrange todas as possibilidades.
ex: 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}.
O conjunto universo (U) seria:
𝑈 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, … , 𝑥, 𝑦, 𝑧}.
PARA FIXAR
Exemplo de conjunto universo:
Um conjunto dos funcionários especializados em RH de uma empresa. Esse grupo de funcionários foi retirado de um conjunto maior: o conjunto formado por todos os funcionários da empresa.
O conjunto formado por aqueles especializados em RH está contido dentro de um conjunto 𝑈. Esse conjunto maior é frequentemente chamado de conjunto universo e, nesse exemplo, poderia representar o conjunto de todos os funcionários da empresa.
No exemplo da imagem o círculo representa os funcionários de RH e o quadrado todos os funcionários da empresa.
CONJUNTO COMPLEMENTAR
O conjunto complementar é formado pela diferença entre o conjunto universo e o conjunto de funcionários de RH, representado pela parte cinza da imagem.
Qual a notação utilizada para representar o complementar de um conjunto X?
Xᶜ ou X̅.
Xᶜ = X̅ = U - X
Se n(A) é o número de elementos de A e n(B) é o número de elementos de B, quanto vale n(A ∪ B) ?
n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
Em uma empresa com 120 funcionários, 42 recebem vale-transporte e 95 recebem vale- refeição.
Sabendo que todos os funcionários da empresa recebem ao menos um desses dois benefícios, qual o total de funcionários que recebem ambos os benefícios?
n(T ∪ R) = n(T) + n(R) − n(T ∩ R)
n(T) = 42
n(R) = 95
n(T ∪ R) = 120
n(R) + n(T) = 95 + 42 = 137
n(T ∩ R) = 17
PARA FIXAR
PARA FIXAR
No que consiste a expressão “ℕ”?
Conjunto dos números naturais.
No que consiste a expressão “ℕ*”?
Conjunto dos números naturais excluindo o 0 (zero).
Qual o antecessor natural de 0?
Não existe pois -1 não é número natural.
CERTO OU ERRADO
O antecessor inteiro do 0 é -1.
CERTO! Os números inteiros são quaisquer números, seja positivo ou negativo, desde que não seja “quebrado”.
No que consiste a expressão “ℤ”?
Conjunto dos números inteiros.
CERTO OU ERRADO
O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos inteiros.
CERTO! Todos os números naturais também são inteiros.
CERTO OU ERRADO
Os números “1, 2, 3, 4, 5” são apenas números naturais e não números inteiros.
ERRADO! São números inteiros e naturais.
No que consiste a expressão “ℤ*”?
Números inteiros excluindo o 0 (zero).
No que consiste a expressão “ℚ”?
Conjunto de números racionais.
No que consiste um número racional?
Números inteiros mais os “números quebrados”.
Basicamente, dizemos que um número é racional se ele pode ser representado na forma de fração.
PARA FIXAR
Os números naturais estão incluídos nos números inteiros, que estão incluídos nos números racionais.
Isso significa que números como 1, 2 ou 3 além de serem naturais, são inteiros e também são racionais.
CERTO OU ERRADO
Os números serão racionais quando tiverem uma representação decimal infinita.
ERRADO! Se tiverem uma representação decimal infinita, pra ser considerado um número racional, deve conter uma dízima periódica.
Ex: 0,333; 1,67676767; 100,123123123123 … ; 1,000100010001.
perceba que a dízima se repete, por isso é chamada de periódica
CERTO OU ERRADO
Dízimas são números racionais.
ERRADO! Apenas as dízimas periódicas.
CERTO OU ERRADO
Dízimas periódicas são números racionais e que podem ser transformadas em frações.
CERTO! Toda dízima periódica pode ser transformada em fração.
Qual o nome dado a dízima em que não podemos escrever em forma fracionária?
Números irracionais.
ex: √2 = 1,4142, √3 = 1,7320, 𝜋 = 3,1415
No que consiste os números reais?
Todos os números existentes.
Além de representar o conjunto dos números reais em um diagrama, também usamos uma reta para representa-los.
Como essa é chamada essa reta?
Reta real.
PARA FIXAR
- A soma de números naturais é sempre um número natural.
- A soma de números inteiros é sempre um número inteiro;
- A soma de números racionais é sempre um número racional;
- A soma de números reais é sempre um número real.
CERTO OU ERRADO
A soma de números irracionais sempre será um número irracional, assim como a soma de números racionais será sempre um número racional.
ERRADO! A soma de números racionais sempre será um número racional mas a soma de números irracionais nem sempre será um número racional.
ex: “5 + √2” e “5 − √2” são números irracionais. Quando somados, vira um número natural.
(5 + √2) + (5 − √2)
5 + 5 + √2 - √2
5 + 5 + 0 = 10
PARA FIXAR
- PAR ± PAR = PAR
- ÍMPAR ± ÍMPAR = PAR
- ÍMPAR ± PAR = ÍMPAR
PARA FIXAR
- A subtração de números inteiros é um outro número inteiro.
- A subtração de números racionais é um outro número racional.
- A subtração de números reais é um outro número real.
CERTO OU ERRADO
A subtração de números naturais é um outro número natural.
ERRADO! 10 e 100 são dois números naturais, mas 10 - 100 = -90.
CERTO OU ERRADO
A subtração de números irracionais pode não ser outro número irracional.
CERTO! 𝜋 + 2 é um número irracional. 𝜋 + 2 − 𝜋 = 2, um número inteiro natural.
PARA FIXAR
- A multiplicação de dois números naturais é sempre um número natural.
- A multiplicação de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
- A multiplicação de dois números racionais é sempre um número racional.
- A multiplicação de dois números reais é sempre um número real.
NÃO SE APLICA AOS NÚMEROS IRRACIONAIS
PARA FIXAR
- A divisão de dois números racionais será sempre um racional.
- A divisão de dois números reais será sempre um número real.
- A Divisão de números naturais não necessariamente fornecerá um outro número natural, isso vale igualmente para os números inteiros e irracionais.
