12. Teoria dos Conjuntos

Question 1

Qual o conceito de conjunto?

Answer 1

Uma espécie de grupo, lista ou uma coleção de determinado objeto.

Question 2

PARA FIXAR

Um conjunto pode ser apresentado de várias maneiras.

𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
𝐵 = {0, 2, 4, 6, 8}
𝐶 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
𝐷 = {𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑠𝑐𝑜, 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜, 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑢𝑠, 𝐿𝑢𝑎𝑛𝑎, 𝑗𝑒𝑓𝑓𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛}

Question 3

No que consiste o símbolo ∈?

Answer 3

Pertence a…

Question 4

O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?

B ∈ A

Answer 4

Que B pertence a A.

Question 5

O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?

Z ∉ A

Answer 5

Que Z não pertence a A.

Question 6

O que significa o símbolo ⊂?

Answer 6

Está contido em…

Question 7

O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?

{a, z} ⊂ A

Answer 7

Que “a” e “z” estão contidos em A, “a” e “z” é subconjunto de A.

Question 8

PARA FIXAR

A relação de inclusão envolve 2 conjuntos: um subconjunto que que é parte de um conjunto maior.

Question 9

O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?

{a, z} ⊄ B

Answer 9

Que a e z não pertencem a B, a e z não são subconjuntos de B

Question 10

O que significa o símbolo ⊃?

Answer 10

Contém.

Question 11

O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?

E ⊃ {𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑠𝑐𝑜, 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜}

Answer 11

Que E contém Francisco e Eduardo.

Question 12

O que podemos concluir de acordo com a relação abaixo?

B ⊅ {1, 3, 5}

Answer 12

Que B não contém 1, 3 e 5.

Question 13

Dado que A = {a, b}, quais os subconjuntos de A?

Answer 13

∅ (sem colchetes)
{a}
{b}
{a, b}

ou seja:
∅ ⊂ A (sem colchetes)
{a} ⊂ A
{b} ⊂ A
{a, b} ⊂ A

Question 14

CERTO OU ERRADO

Dado que A = {a, b}, podemos inferir que ∅ ⊂ A.

Answer 14

CERTO!

Question 15

No que consiste o termo “∅”?

Answer 15

Conjunto vazio.

Question 16

PARA FIXAR

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.

Question 17

PARA FIXAR

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.

Question 18

PARA FIXAR

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.

Question 19

No que consiste o termo “{ }”?

Answer 19

Conjunto vazio.

Question 20

No que consiste um conjunto vazio?

Answer 20

Um conjunto que não possui elementos.

Question 21

No que consiste um conjunto unitário?

Answer 21

Todo conjunto que possui um único elemento.

Question 22

CERTO OU ERRADO

Qualquer conjunto é também um subconjunto de si mesmo

Answer 22

CERTO!

Question 23

Dado que B = {a, b, c}, quais os subconjuntos do conjuntos B?

Answer 23

∅
{a}
{b}
{c}
{a, b}
{a, c}
{b, c}
{a, b ,c}

ou seja:
∅ ⊂ B
{a} ⊂ B
{b} ⊂ B
{c} ⊂ B
{a, b} ⊂ B
{a, c} ⊂ B
{b, c} ⊂ B
{a, b ,c} ⊂ B

Question 24

O que é um subconjunto próprio e impróprio?

Answer 24

O subconjunto próprio é um subconjunto de um conjunto que é diferente do próprio conjunto.
Ex: B = {a, b, c}
{a} é um subconjunto próprio porque não representa a totalidade de B

O subconjunto impróprio é aquele representado pelo próprio conjunto em sua totalidade.
Ex: B = {a, b, c}
{a, b, c} é um conjunto impróprio

Question 25

CERTO OU ERRADO Os subconjuntos de um conjunto são apenas diferentes combinações de seus elementos.

Answer 25

CERTO!

Question 26

**PARA FIXAR** Se você precisar listar os subconjuntos, siga os seguintes passos: 1. O primeiro conjunto que você deve anotar como subconjunto é o conjunto vazio. 2. Depois, transforme em subconjunto cada elemento, um por um. 3. Em seguida, escreva os subconjuntos formado por pares de elementos. 4. Acabando os pares, pegue os trios e assim sucessivamente.

Question 27

Seja n é o número de elementos de um conjunto A. Qual o número de subconjuntos de A?

Answer 27

n (A) = 2ⁿ *ex: A = {1, 2, 3 e 4} A terá 2⁴ subconjuntos = 16 subconjuntos*

Question 28

Quantos subconjuntos possui o conjunto das vogais?

Answer 28

As vogais possuem 5 elemento (a, e, i, o, u). Logo, 2⁵ = **32 subconjuntos**.

Question 29

No que consiste o símbolo ℘?

Answer 29

Conjuntos das partes.

Question 30

**PARA FIXAR** ℘(A) = {{ }, {a}, {b}, {a, b}} Perceba que ℘(A) é formado por outros conjuntos, que são os conjuntos. Um outro ponto que chamamos atenção é que, no conjunto das partes, listamos o conjunto vazio { } explicitamente com um dos seus elementos. 𝐹 = {1, 2, 3, {a, b, c}, {d, e, f}, {W}} Assim como o conjunto das partes, F é um conjunto que possui como elemento outros conjuntos. Note que o conjunto {a, b, c} é um elemento de F. Nessas situações, e somente nelas, podemos escrever {a, b, c} ∈ F. Galera, muita atenção aqui! {a, b, c} não é um subconjunto de F, é um elemento! Perceba que ele está listado juntamente com os demais elementos! E nesses casos, quando usaremos a relação de inclusão? Veja alguns exemplos de subconjuntos de F: * {1} ⊂ F * {1, 2} ⊂ F * {1, 2, 3} ⊂ F * {{a, b, c, }} ⊂ F * {{𝑊}} ⊂ F * {{a, b, c}, {d, e, f}, {𝑊}} ⊂ F

Question 31

Dado que o conjunto A = {𝜙, {𝜙}, 1, {1}}, quais os subconjuntos de A?

Answer 31

Question 32

CERTO OU ERRADO A partir do conjunto da imagem, podemos inferir que Yasmin ∉ A e Ana ∉ A.

Answer 32

CERTO!

Question 33

Qual nome dado ao tipo de conjunto por representação da imagem?

Answer 33

Diagramas de Venn-Euler.

Question 34

Dados os conjuntos A e B da imagem, determine A ∪ B.

Answer 34

A ∪ B = {1,2, 3, a, b, c}

Question 35

CERTO OU ERRADO

Answer 35

ERRADO! Na união de dois conjuntos não se repete o elemento que contém nos dois conjuntos, que nesse caso, é o 2. C ∪ D = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Question 36

No que consiste a operação de interseção de dois conjuntos?

Answer 36

Selecionar apenas os elementos em comum dos conjuntos.

Question 37

Dado os dois conjuntos da imagem, determine X ∩ Z.

Answer 37

X ∩ Z = {B, D, C}.

Question 38

O que podemos inferir sobre a região vermelha da imagem?

Answer 38

A ∩ B. *ou seja, elementos que pertencem tanto a A quanto a B*

Question 39

Qual o nome dado aos conjuntos que não possuem intersecção entre entre eles?

Answer 39

Conjuntos disjuntos.

Question 40

Dados os conjuntos da imagem, realize a operação A - B.

Answer 40

A - B = {2, 4, 6} *ou seja, os elementos de A que não são elementos de B*

Question 41

Se A ∩ B = {1, 3, 5} e A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual o resultado de A - B?

Answer 41

A ∩ B = {1, 3, 5}, logo, são os três elementos em comum nos dois conjuntos. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {1, 3, 5} = **{2, 4, 6}

Question 42

CERTO OU ERRADO De acordo com a imagem, pode-se inferir que a região vermelha se trata da diferença de B e A.

Answer 42

ERRADO! Se trata da diferença de A e B, ou seja, os elementos que estão contido apenas em A.

Question 43

CERTO OU ERRADO Se A e B são dois conjuntos disjuntos, a operação A - B é o próprio conjunto A.

Answer 43

CERTO! Não existe elementos relacionados entre A e B.

Question 44

No que consiste um conjunto universo?

Answer 44

Um conjunto que tem abrange todas as possibilidades. *ex: 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}. O conjunto universo (U) seria: 𝑈 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, … , 𝑥, 𝑦, 𝑧}.*

Question 45

**PARA FIXAR** Exemplo de conjunto universo: Um conjunto dos funcionários especializados em RH de uma empresa. Esse grupo de funcionários foi retirado de um conjunto maior: o conjunto formado por todos os funcionários da empresa. O conjunto formado por aqueles especializados em RH está contido dentro de um conjunto 𝑈. Esse conjunto maior é frequentemente chamado de conjunto universo e, nesse exemplo, poderia representar o conjunto de todos os funcionários da empresa. No exemplo da imagem o círculo representa os funcionários de RH e o quadrado todos os funcionários da empresa. **CONJUNTO COMPLEMENTAR** O conjunto complementar é formado pela diferença entre o conjunto universo e o conjunto de funcionários de RH, representado pela parte cinza da imagem.

Question 46

Qual a notação utilizada para representar o complementar de um conjunto X?

Answer 46

Xᶜ ou X̅. *Xᶜ = X̅ = U - X*

Question 47

Se n(A) é o número de elementos de A e n(B) é o número de elementos de B, quanto vale n(A ∪ B) ?

Answer 47

n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Question 48

Em uma empresa com 120 funcionários, 42 recebem vale-transporte e 95 recebem vale- refeição. Sabendo que todos os funcionários da empresa recebem ao menos um desses dois benefícios, qual o total de funcionários que recebem ambos os benefícios?

Answer 48

n(T ∪ R) = n(T) + n(R) − n(T ∩ R) n(T) = 42 n(R) = 95 n(T ∪ R) = 120 n(R) + n(T) = 95 + 42 = 137 **n(T ∩ R) = 17**

Question 49

**PARA FIXAR**

Question 50

**PARA FIXAR**

Question 51

No que consiste a expressão "ℕ"?

Answer 51

Conjunto dos números naturais.

Question 52

No que consiste a expressão "ℕ*"?

Answer 52

Conjunto dos números naturais **excluindo** o 0 (zero).

Question 53

Qual o antecessor natural de 0?

Answer 53

Não existe pois -1 não é número natural.

Question 54

CERTO OU ERRADO O antecessor inteiro do 0 é -1.

Answer 54

CERTO! Os números inteiros são quaisquer números, seja positivo ou negativo, desde que não seja "quebrado".

Question 55

No que consiste a expressão "ℤ"?

Answer 55

Conjunto dos números inteiros.

Question 56

CERTO OU ERRADO O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos inteiros.

Answer 56

CERTO! Todos os números naturais também são inteiros.

Question 57

CERTO OU ERRADO Os números "1, 2, 3, 4, 5" são apenas números naturais e não números inteiros.

Answer 57

ERRADO! São números inteiros e naturais.

Question 58

No que consiste a expressão "ℤ*"?

Answer 58

Números inteiros **excluindo** o 0 (zero).

Question 59

No que consiste a expressão "ℚ"?

Answer 59

Conjunto de números racionais.

Question 60

No que consiste um número racional?

Answer 60

Números inteiros mais os "números quebrados". Basicamente, dizemos que um número é racional se ele pode ser representado na forma de fração.

Question 61

**PARA FIXAR** Os números naturais estão incluídos nos números inteiros, que estão incluídos nos números racionais. Isso significa que números como 1, 2 ou 3 além de serem naturais, são inteiros e também são racionais.

Question 62

CERTO OU ERRADO Os números serão racionais quando tiverem uma representação decimal infinita.

Answer 62

ERRADO! Se tiverem uma representação decimal infinita, pra ser considerado um número racional, deve conter uma dízima periódica. Ex: 0,**333**; 1,**67**676767; 100,**123**123123123 … ; 1,**0001**00010001. *perceba que a dízima se repete, por isso é chamada de periódica*

Question 63

CERTO OU ERRADO Dízimas são números racionais.

Answer 63

ERRADO! Apenas as dízimas periódicas.

Question 64

CERTO OU ERRADO Dízimas periódicas são números racionais e que podem ser transformadas em frações.

Answer 64

CERTO! Toda dízima periódica pode ser transformada em fração.

Question 65

Qual o nome dado a dízima em que não podemos escrever em forma fracionária?

Answer 65

Números irracionais. ex: √2 = 1,4142, √3 = 1,7320, 𝜋 = 3,1415

Question 66

No que consiste os números reais?

Answer 66

Todos os números existentes.

Question 67

Além de representar o conjunto dos números reais em um diagrama, também usamos uma reta para representa-los. Como essa é chamada essa reta?

Answer 67

Reta real.

Question 68

**PARA FIXAR** - A soma de números naturais é sempre um número natural. - A soma de números inteiros é sempre um número inteiro; - A soma de números racionais é sempre um número racional; - A soma de números reais é sempre um número real.

Question 69

CERTO OU ERRADO A soma de números irracionais sempre será um número irracional, assim como a soma de números racionais será sempre um número racional.

Answer 69

ERRADO! A soma de números racionais sempre será um número racional mas _a soma de números irracionais nem sempre será um número racional_. *ex: "5 + √2" e "5 − √2" são números irracionais. Quando somados, vira um número natural. (5 + √2) + (5 − √2) 5 + 5 + √2 - √2 5 + 5 + 0 = 10*

Question 70

**PARA FIXAR** - PAR ± PAR = PAR - ÍMPAR ± ÍMPAR = PAR - ÍMPAR ± PAR = ÍMPAR

Question 71

**PARA FIXAR** - A subtração de números inteiros é um outro número inteiro. - A subtração de números racionais é um outro número racional. - A subtração de números reais é um outro número real.

Question 72

CERTO OU ERRADO A subtração de números naturais é um outro número natural.

Answer 72

ERRADO! 10 e 100 são dois números naturais, mas 10 - 100 = -90.

Question 73

CERTO OU ERRADO A subtração de números irracionais pode não ser outro número irracional.

Answer 73

CERTO! 𝜋 + 2 é um número irracional. 𝜋 + 2 − 𝜋 = 2, um número inteiro natural.

Question 74

**PARA FIXAR** - A multiplicação de dois números naturais é sempre um número natural. - A multiplicação de dois números inteiros é sempre um número inteiro. - A multiplicação de dois números racionais é sempre um número racional. - A multiplicação de dois números reais é sempre um número real. **NÃO SE APLICA AOS NÚMEROS IRRACIONAIS**

Question 75

**PARA FIXAR** - A divisão de dois números racionais será sempre um racional. - A divisão de dois números reais será sempre um número real. - A Divisão de números naturais não necessariamente fornecerá um outro número natural, isso vale igualmente para os números inteiros e irracionais.