13. Média Aritmética, Geométrica e Harmônica Flashcards
No que consiste uma medida de posição?
Estatísticas que caracterizam o comportamento dos elementos de uma série de dados, orientando quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de frequência.
As medidas de posição são divididas em duas categorias.
Quais são?
1) medidas de tendência central
2) medidas separatrizes
No que consiste uma medida de tendência central?
O ponto central ou o valor típico de um conjunto de dados, indicando onde está localizada a maioria dos valores de uma distribuição.
Quais são os três tipos de medida de tendência central?
- Média
- Moda
- Mediana
No que consiste a média artimética?
Valor resultante da divisão entre a soma de todos os valores de uma série de observações pelo número de observações.
No que consiste a moda?
Valor que mais aparece em uma série de observações.
No que consiste a mediana?
Valor que ocupa a posição central de uma série de observações, quando ordenadas em ordem crescente.
PARA FIXAR
As medidas de tendência central se posicionam em relação a uma distribuição de frequências. Notem que essas medidas tendem a ocupar as posições centrais da distribuição, por isso são denominadas de medidas de tendência central.
No que consiste uma medida separatriz?
Dividem (ou separam) uma série em duas ou mais partes, cada uma contendo a mesma quantidade de elementos.
Quais as medidas separatrizes mais comuns?
- Mediana
- Quatris
- Decis
- Percentis
CERTO OU ERRADO
A medida é uma medida de tendência central ao mesmo tempo em que é uma medida separatriz.
CERTO! Divide uma série em duas partes iguais.
No que consiste os quartis?
Dividem uma série em quatro partes iguais;
No que consistem os decis?
Dividem uma série em dez partes iguais;
No que consistem os percentis?
Dividem uma série em cem partes iguais;
No que consiste a expressão “∑”?
Sigma, uma letra grega maiúscula. Esse símbolo nos instrui a somar determinados elementos de uma sequência.
O que podemos deduzir de acordo com a expressão da imagem?
Somatório dos elementos de x, começando pelo x1 (indicado na parte inferior) e indo até x10 (indicado na parte superior).
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
PARA FIXAR
VERIFICAR A IMAGEM NA RESPOSTA
Os elementos típicos da sequência que está sendo somada aparecem à direita do símbolo de somatório.
Essa notação também requer a definição de um índice, que fica localizado abaixo do símbolo de somatório. Esse índice é frequentemente representado por 𝒊, embora também seja comum encontrarmos questões adotando 𝑗 ou 𝑛.
Esse índice normalmente aparece como uma expressão, por exemplo, 𝑖 = 𝑎, em que o índice assume um valor inicial atribuído no lado direito da equação, conhecido como limite inferior (𝑎).
A condição de parada ou limite superior do somatório é o valor localizado acima do símbolo, no caso (𝑏).
O que podemos deduzir de acordo com a expressão da imagem?
Somatório dos elementos de x, começando pelo x3 (indicado na parte inferior) e indo até x10 (indicado na parte superior).
x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
O que podemos deduzir de acordo com a expressão da imagem?
Soma de todos os elementos de x.
O que podemos deduzir de acordo com a expressão da imagem?
Soma dos quadrados de x, começando em x1 e indo até xn.
x1²+x2²+x3²+x4²+x5²+…xn²
O que podemos deduzir de acordo com a expressão da imagem?
Qual o resultado da expressão da imagem?
Dado os conjuntos:
{xi} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
{y𝑖} = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}.
Qual o resultado da expressão da imagem?
O 1 do x é o número 1 e o 1 do y é o número 3.
1x3 + 2x6 + 3x9 + 4x12 + 5x15 + 6x18+ 7x21 + 8x24 + 9x27 + 10x30
3 + 12 + 27 + 48 + 75 + 108 + 147 + 192 + 243 + 300 = 1155
Dado os conjuntos:
{xi} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
{y𝑖} = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}.
Qual o resultado da expressão da imagem?
É só realizar a soma dos dois sigmas e multiplicar um pelo outro.
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 x 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30
= 55 x 165 = 9075
PARA FIXAR
ATENÇÃO!!!
Dado o conjunto:
{xi} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Qual o resultado da expressão da imagem?
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)²
(55)² = 55² = 3025
PARA FIXAR
PARA FIXAR
1ª. Propriedade: O somatório de uma constante 𝒌 é igual ao produto do número de termos pela constante.
PARA FIXAR
2ª. Propriedade: O somatório do produto de uma constante por uma variável é igual ao produto da constante pelo somatório da variável.
PARA FIXAR
3ª. Propriedade: O somatório de uma soma ou subtração é igual à soma ou à subtração dos somatórios dessas variáveis.
Calcule a média aritmética dos números 8, 16, 26 e 30.
8 + 16 + 26 + 30 = 80
Quantos elementos são? 4.
Então 80÷4 = 20
PARA FIXAR
Sobre a média aritmética, podemos afirmar que:
I – ela preserva a soma dos elementos da lista de números;
II – ela é obtida pelo quociente entre a soma de todos os elementos de um conjunto e quantidade de elementos nele existentes.
PARA FIXAR
1ª Propriedade: Dado um conjunto com 𝒏 ≥ 𝟏 elementos, a média aritmética sempre existirá e será única.
Ou seja, se um conjunto possuir mais de um elemento a média aritmética sempre existirá.
PARA FIXAR
2ª Propriedade: A média aritmética x̅ de um conjunto de dados satisfaz a expressão 𝒎 ≤ x̅ ≤ 𝑴, em que 𝒎 e 𝑴 são, respectivamente, os elementos que representam o valor mínimo e o valor máximo desse conjunto.
Ou seja, sendo m o menor valor do conjunto e M o maior valor do conjunto, a média de x ficará entre m e M.
PARA FIXAR
3ª Propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante 𝒄 de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.
Ou seja, se a média de um conjunto é 4 e somarmos uma constante c de valor 9 em cada um dos elementos, a média será 4 + 9 = 13.
{xₙ} = {1, 2, 3, 4, 5}
x̅ = 3
{xₙ+5} = {6, 7, 8, 9, 10}
x̅ + 5 = 3 + 5 = 8
PARA FIXAR
4ª Propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por esta constante.
PARA FIXAR
5ª Propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.
Um concurseiro da área fiscal realizou a prova de concurso e obteve as notas da imagem.
Cada disciplina possui seu respectivo peso.
Qual a média ponderada da nota do concurseiro?
Português: 4x1 = 4
Dir. Adm.: 4x2 = 8
Dir. Const.: 4x2 = 8
Dir. Trib.: 6x3 = 18
Legisl. Trib.: 6x3 = 18
Contabilidade: 7x3 = 21
Auditoria: 7x3 = 21
4+8+8+18+18+21+21 = 98
A soma dos pesos é 15.
Logo, 98÷15 ≅ 6,53
QUESTÃO DE PROVA
Uma loja trabalha com produtos que são classificados em apenas três tipos. Os preços de venda de cada tipo do produto são os seguintes:
Produto A - R$ 10
Produto B - R$ 12
Produto C - R$ 15
No último dia útil de funcionamento, foram vendidos produtos dos três tipos, sendo que, do total
de unidades vendidas, ¼ foi de produtos do tipo A, ⅖ foi de produtos do tipo B, e o restante, de produtos do tipo C. Naquele dia, qual o preço médio unitário de venda dos produtos vendidos?
Produto A = ¼ = 25%
Produto B ⅖ = 40%
Produto C = 35%
(10x25% + 12x40% + 15x35%) ÷ 25% + 35% + 40%
10×0,25 + 12×0,40 + 15×0,35
2,5 + 4,8 + 5,25 = R$ 12,55
Os dados de um conjunto podem ser divididos em dois tipos.
Quais são?
Agrupados e não agrupados.
PARA FIXAR
Logo após a etapa de coleta, temos dados não-agrupados ou dados brutos.
Os dados agrupados são aqueles que passaram por algum nível de análise, o que significa que já não são brutos.
PARA FIXAR
Quando por frequência de valor, os dados são organizados de forma ascendente e suas ocorrências são contabilizadas.
Quando por intervalos de classes, os dados também são organizados de forma ascendente, porém, em classes preestabelecidas, e as ocorrências de cada classe são contabilizadas.
A tabela representa a quantidade de alunos e a respectiva velocidade para responder questões.
Calcule o tempo médio da resposta das questão.
Na tabela, identificam-se informações sobre as notas tiradas por 30 alunos, em uma prova cujas notas variaram de 0,0 a 5,0.
Sabendo que o número de alunos que tirou nota 4,0 foi o dobro do número de alunos que tirou nota 5,0, qual a média aritmética simples das notas dessa prova?
1 + 3 + 4 + 7 + 2x + x = 30
3x = 30 - 15
3x = 15
x = 5
(0×1 + 1×3 + 2×4 + 3×7 + 4×10 + 5×5) ÷ 30
(0 + 3 + 8 + 21 + 40 + 25) ÷ 30
97 ÷ 30 ≅ 3,23
Como é calculado o ponto médio de uma frequência de intervalor?
PARA FIXAR
O ponto médio de uma frequência de intervalor é calculada com a expressão:
(linf + lsup) ÷ 2.
Exemplo na imagem.
Na tabela da imagem, estão relacionadas as durações das chamadas telefônicas feitas em um dia, em uma empresa.
Qual a duração média das chamadas telefônicas?
Qual a média geométrica dos números 4, 20 e 100?
Quantos elementos são? 3
Então será a multiplicação da raiz cúbica desses três elementos.
4 x 20 x 100 = 8000
∛8000 = 20
PARA FIXAR
O preço de um produto, nos últimos 3 meses, sofreu aumentos de, respectivamente, 3%, 8%, 9%.
Qual foi o aumento médio percentual nesse período?
j = ∛3 × 8 × 9
j= ∛3 × 2³ × 3²
j = ∛2³ × 3³ = 6%
Um prisma de base retangular possui o mesmo volume que um cubo. Se as dimensões do prisma são 4 cm x 10 cm x 25 cm, qual é o valor do lado do cubo em centímetros?
l³ = 4×10×25
l = ∛4×10×25
l = ∛2² × 2 × 5 × 5²
l = ∛2³ x 5³
l = 2 x 5 = 10cm
Qual a definição de média harmônica para o conjunto de números positivos?
A soma dos inversos dos elementos de um conjunto de números.
Qual a média harmônica dos números 15 e 60?
PARA FIXAR
Em que n corresponde à soma dos elementos e H corresponde à soma dos fatores.
Durante a metade de um percurso um veículo manteve a velocidade de 80 km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 120 km/h. Qual a velocidade média do veículo durante o percurso?
Note que as distâncias percorridas são iguais, o que muda é a velocidade e, consequentemente, o tempo. Se aumentarmos a velocidade, o tempo que levaremos para percorrer uma mesma distância diminuirá, logo, essas grandezas são inversamente proporcionais.
Para encher um tanque, uma torneira leva 12 horas. Para encher esse mesmo tanque, outra torneira leva 6 horas. Caso as duas torneiras fossem abertas ao mesmo tempo, quanto tempo elas levariam para encher o tanque?
CERTO OU ERRADO
Sobre a média harmônica, podemos afirmar que ela preserva a soma dos inversos de uma lista de números.
CERTO!
CERTO OU ERRADO
Somente definimos a média harmônica para números não-negativos.
CERTO!
PARA FIXAR
A média aritmética será sempre maior ou igual a média geométrica que, por seu turno, será sempre maior ou igual a harmônica.
CERTO OU ERRADO
A média aritmética sempre será maior que média geométrica, ao passo que esta sempre será maior que média harmônica.
ERRADO! A média aritmética pode ser maior ou igual à geométrica e a geométrica igual ou maior que a harmônica. A igualdade ocorrerá quando os números da lista forem todos iguais.
