8 Verteilungskonvergenz und zentraler Grenzwertsatz

Question 1

(D) Konvergenz in Verteilung

Answer 1

X1, X2, … reelle Zufallsvariablen mit Verteilungen P1, P2, … und Verteilungsfunktionen F1, F2, …

Die Folge (Xn) konvergiert in Verteilung gegen eine Zufallsvariable X mit Verteilungsfunktion F und Verteilung P (Xn => X), wenn

lim_n->∞ Fn(x) = F(x) für alle x∈C(F).

Question 2

(A) Zusammenhang: Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und Konvergenz in Verteilung (3)

Answer 2

1. (S) Konvergenz in Wahrscheinlichkeit impliziert Konvergenz in Verteilung:
   X, X1, X2 Zufallsvariablen mit Xn →P X. Dann gilt Xn => X.
2. (Bsp) Konvergenz in Verteilung impliziert nicht Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.
3. (S) Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und Konvergenz in Verteilung sind äquivalent, wenn Grenzwert konstant:
   𝑋1, 𝑋2, … Zufallsvariablen. Dann gilt 𝑋𝑛 ⇒ 𝑎 genau dann, wenn 𝑋𝑛 →P 𝑎 (𝑎 ∈ R).

Question 3

(S) Zentraler Grenzwertsatz

Answer 3

X1, X2, … Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit E[X1] = 𝜇 ∈ R und Var[X1] = 𝜎^2 ∈ (0, ∞). Dann gilt

1/(𝜎√n) (∑ Xi − nµ) = 1/(𝜎√n) (∑ Xi − µ) => Z

mit Z ∼ N_(0,1).

Question 4

(S) Satz von Slutsky

Answer 4

𝑋, 𝑋1, 𝑋2, … und 𝑌1, 𝑌2, … Zufallsvariablen mit 𝑋𝑛 ⇒ 𝑋 und 𝑌𝑛 →P 𝑐 (und damit auch 𝑌𝑛 ⇒ 𝑐), 𝑐 Konstante. Dann gilt

(i) 𝑋𝑛 + 𝑌𝑛 ⇒ 𝑋 + 𝑐,
(ii) 𝑌𝑛𝑋𝑛 ⇒ 𝑐𝑋,
(iii) 𝑋𝑛/𝑌𝑛 ⇒ 𝑋/𝑐, 𝑐≠0.