7 Gesetze der großen Zahlen Flashcards
(S) Cauchy-Schwarz-Ungleichung
X, Y reelle Zufallsvariablen mit endlichen Momenten E[X^2] und E[Y^2]. Dann gilt
E[XY]^2 ≤ E[|XY|]^2 ≤ E[X^2] E[Y^2].
(S) Allgemeine-Markov-Ungleichung
X Zufallsvariable und h : R → (0, ∞) monoton wachsende Funktion. Dann gilt für alle x ∈ R
P(X ≥ x) ≤ E[h(X)] / h(x).
(S) Jensen-Ungleichung
X Zufallsvariable, h : I → R konvexe Funktion, P(X ∈ I) = 1, E[X], E[h(X)] existieren. Dann gilt
h(E[X]) ≤ E[h(X)]
Insbesondere gilt
|E[X]| ≤ E[|X|] und (E[X])^2 ≤ E[X^2].
(D) Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und fast sichere Konvergenz
X, X1, X2, … reelle Zufallsvariablen.
- Die Folge (Xn) konvergiert in Wahrscheinlichkeit oder stochastisch gegen X (Xn →P X), wenn für alle 𝜀 > 0 gilt
P(|Xn −X| ≥ 𝜀) → 0 für 𝑛→∞.
- Die Folge (Xn) konvergiert fast sicher gegen X (Xn →f.s. X), wenn es eine Menge N⊂Ω, N∈A mit P(N) = 0 gibt, sodass für 𝑛→∞
Xn(𝜔) →X(𝜔), für alle 𝜔∉N.
(S) starkes GGZ von Etemadi und Kolmogorov
(Xn)n∈N Folge paarweise unabhängiger und identisch verteilter reellwertiger Zufallsvariablen mit E[|X1|] < ∞. Dann gilt
1/n ∑ Xi →fs E[X1].
(Das ist die stärkste Version des GGZ.)
(S) (ein) schwaches Gesetz der großen Zahlen
(Xn)n∈N Folge unabhängiger (oder unkorrelierter) identisch verteilter Zufallsvariablen mit E[X1^2] < ∞.
Dann genügt die Folge (Xn)n∈N dem schwachen Gesetz der großen Zahlen.
Beweis (soll man sich merken): …
(S) (ein) starkes Gesetz der großen Zahlen
(Xn)n∈N Folge unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen mit E[X1^4] < ∞.
Dann genügt die Folge (Xn)n∈N dem starken Gesetz der großen Zahlen.
(A) Folge genügt dem starken Gesetz der großen Zahlen
Eine Folge von Zufallsvariablen (Xn)n∈N genügt dem starken Gesetz der großen Zahlen, wenn
1/n ∑ (Xi - E[Xi]) →fs 0, n → ∞
(A) Folge genügt dem schwachen Gesetz der großen Zahlen
Eine Folge von Zufallsvariablen (Xn)n∈N genügt dem schwachen Gesetz der großen Zahlen, wenn
1/n ∑ (Xi - E[Xi]) →P 0, n → ∞.
(K) Tschebyscheff-Ungleichung
P(|X - E[X]| ≥ x) ≤ Var[X]/x^2
(L) Konvergenz in Wahrscheinlichkeit von Summen
𝑋, 𝑋1, 𝑋2, … und 𝑌, 𝑌1, 𝑌2, … Zufallsvariablen mit 𝑋𝑛 →P 𝑋 und 𝑌𝑛 →P 𝑌, dann gilt
𝑋𝑛 + 𝑌𝑛 →P 𝑋 + 𝑌.
(S) Zusammenhang: fast sichere Konvergenz und Konvergenz in Wahrscheinlichkeit
Fast sichere Konvergenz impliziert Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.
(S) Charakterisierung der fast sicheren Konvergenz (2)
- (𝑋𝑛 )𝑛∈N Folge von Zufallsvariablen, 𝑋 Zufallsvariable mit ∑︁n=1^∞ P(|𝑋𝑛−𝑋| ≥ 𝜀) < ∞ für alle 𝜀>0.
Dann gilt 𝑋𝑛 →fs 𝑋. - Falls (𝑋𝑛 )𝑛∈N Folge unabhängiger ZV und 𝑐 Konstante, dann gilt 𝑋𝑛 →fs 𝑐 genau dann, wenn
∑︁n=1^∞ P(|𝑋𝑛−𝑐| ≥ 𝜀) < ∞ für alle 𝜀>0.
(A) Pfeil statt Limes
lim P(∑Xi > 0) = 1 <==> P(∑Xi > 0) —> 1 für n->∞
(D) P()-Form des GGZ
P(|1/n ∑ Xi - E[X1]| ≥ x) ≈ P(0 ≥ x) (für n groß genug)
(D) Gaußsche Summenformel / kleiner Gauß
∑k=0^n k = n*(n+1) / 2
Beispiel:
∑k=1^n-1 -k = - (n-1)*n / 2
