6 Transformationen und Faltung von Verteilungen

Question 1

(D) Faltung von Zufallsvariablen

Answer 1

X, Y unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungen µ_X, µ_Y.

Die Verteilung von X + Y heißt Faltung von µ_X und µ_Y und wird mit µ_X ∗ µ_Y bezeichnet, d.h. µ_X+Y = µ_X∗µ_Y.

Question 2

(D) erzeugende Funktion

Answer 2

𝑋 N0-wertige Zufallsvariable definiert auf W-Raum (Ω, A, P) mit Verteilung P𝑋, 𝑓 Zähldichte von P𝑋.

Die erzeugende Funktion von 𝑋 bzw. der Verteilung P𝑋 ist definiert durch

^𝑓X(z) = ∑k=0^∞ 𝑓(k) z^k, z∈C, |𝑧|≤1.

Question 3

(B) erzeugende Funktion und Erwartungswert

Answer 3

Wegen 𝑓(𝑘) ≥ 0 und ∑k=0^∞ 𝑓(𝑘) = 1 ist der Konvergenzradius der Reihe mindestens 1 und es gilt

^𝑓X(z) = E[z^X].

Question 4

(S) erzeugende Funktion und Faltung (2)

Answer 4

1. 𝑋, 𝑌 unabhängige N0-wertige ZV. Dann gilt

^𝑓_𝑋+𝑌 = ^𝑓_𝑋 · ^𝑓_𝑌.

2. 𝑋1,…,𝑋𝑛 unabhängige N0-wertige ZV. Dann gilt

^𝑓_∑𝑋𝑖 = π ^𝑓_𝑋𝑖

Question 5

(L) erzeugende Funktion und Momente

Answer 5

𝑋 N0-wertige ZV, E[𝑋^𝑘] < ∞ für ein 𝑘 ∈ N. Dann gilt

E[𝑋] = ^𝑓′(1)
E[𝑋2] = ^𝑓′′(1) + ^𝑓′(1), 
E[𝑋(𝑋 −1)] = ^𝑓′′(1),
Var(𝑋) = ^𝑓′′(1) + ^𝑓′(1) − (^𝑓′(1))^2,
E[𝑋 (𝑋 − 1) · · · (𝑋 − 𝑘 + 1)] = ^𝑓^(𝑘) (1).

Question 6

(A) Abgeschlossenheit einer Verteilung bzgl. Faltung

Answer 6

Binomialverteilung
𝑋 ∼ Bin𝑛,𝑝 und 𝑌 ∼ Bin𝑚,𝑝 unabhängige Zufallsvariablen, 𝑛,𝑚 ∈ N und 𝑝 ∈ [0, 1]. Dann gilt
𝑋 + 𝑌 ∼ Bin𝑛+𝑚,𝑝.

Poissonverteilung
𝑋 ∼ Poi𝜆1 und 𝑌 ∼ Poi𝜆2 unabhängige ZV, 𝜆1, 𝜆2 > 0. Dann gilt
𝑋 + 𝑌 ∼ Poi𝜆1+𝜆2.

Normalverteilung
𝑋 ∼ N𝜇1,𝜎1^2, 𝑌 ∼ N𝜇2,𝜎2^2 unabhängige ZV mit 𝜇𝑖 ∈ R, 𝜎𝑖^2 > 0. Dann gilt
𝑋 + 𝑌 ∼ N_𝜇1+𝜇2,𝜎1^2+𝜎2^2.

Question 7

(S) Faltung stetiger Zufallsvariablen

Answer 7

𝑋, 𝑌 unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten 𝑓𝑋, 𝑓𝑌. Dann ist die Dichte von 𝑋 + 𝑌 gegeben durch

𝑓𝑋 ∗𝑓𝑌(𝑧) := 𝑓𝑋+𝑌(𝑧) = ∫-∞+∞ 𝑓𝑋(𝑧−𝑦) 𝑓𝑌(𝑦) d𝑦.

Question 8

(S) Faltung diskreter Zufallsvariablen auf N0

Answer 8

𝑋, 𝑌 unabhängige diskrete Zufallsvariablen mit Werten in N0. Dann ist 𝑋 + 𝑌 eine N0-wertige Zufallsvariable und es gilt

P(𝑋 + 𝑌 = 𝑘) = ∑︁j=0^k P(𝑋 = 𝑘 − 𝑗) P(𝑌 = 𝑗) = ∑︁i=0^k P(𝑋 = 𝑖) P(𝑌 = 𝑘 − 𝑖).

Question 9

(S) Faltung diskreter Zufallsvariablen auf Z

Answer 9

𝑋, 𝑌 unabhängige diskrete Zufallsvariablen mit Werten in Z. Dann ist 𝑋 + 𝑌 eine Z-wertige Zufallsvariable und es gilt für alle 𝑘∈Z

P(𝑋 + 𝑌 = 𝑘) = ∑︁j∈Z P(𝑋 = 𝑘 − 𝑗) P(𝑌 = 𝑗) = ∑︁i∈Z P(𝑋 = 𝑖) P(𝑌 = 𝑘 − 𝑖).