2 Beschreibung von Zufallsexperimenten Flashcards
(D) Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A) messbarer Raum. Eine Mengenfunktion P : A → R heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A), wenn folgende Axiome von Kolmogorov erfüllt sind.
- Für alle A∈A gilt 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- Normiertheit: Ω ist ein sicheres Ereignis: P(Ω) = 1
- σ-Additivität: Für A1, A2, … ∈ A pw. disjunkt gilt P(U^∞ A_i) = ∑^∞ P(A_i).
Das Tripel (Ω, A, P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum.
(S) Aussagen in einem W-Raum (8)
Auf einem W-Raum (Ω, A, P) gelten folgende Aussagen:
(i) Die leere Menge ø ist ein unmögliches Ereignis: P(ø) = 0.
(ii) Additivität: Für pw disjunkt A_i ∈ A gilt P(U^n A_i) = ∑^n P(A_i)
(iii) Für alle A ∈ A gilt P(A^c) = 1 − P(A).
(iv) Für alle A,B ∈ A mit A ⊂ B gilt P(B\A)=P(B)−P(A).
(v) Monotonie: Für alle A,B ∈ A mit A ⊂ B gilt P(A) ≤ P(B).
(vi) Für alle A,B ∈ A gilt P(AUB) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
(vii) Subadditivität: Für alle A_i ∈ A gilt P(U^∞ A_i) ≤ ∑^∞ P(A_i).
(viii) Sei Ω_0 ∈ A ein sicheres Ereignis. Dann gilt P(A) = P(A ∩ Ω_0 ) für alle A ∈ A.
Ereignisraum, Realisierungen, Elementarereignisse, Ereignisfeld
Der Ereignisraum Ω ist die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.
Die Elemente 𝜔 ∈ Ω des Ereignisraums heißen Realisierungen des ZE und die einelementigen Mengen {𝜔} heißen Elementarereignisse.
Das Ereignisfeld ist die Menge aller Ereignisse, die man tatsächlich beobachten kann. Diesen kann man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.
(D) bedingte Wahrscheinlichkeit
(Ω, A, P) W-Raum, 𝐴, 𝐵 ∈ A mit P(𝐵) > 0. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von 𝐴 gegeben 𝐵 definiert durch
P(𝐴 | 𝐵) = P(𝐴 ∩ 𝐵) / P(𝐵).
(D) Stochastische Unabhängigkeit, (B) Zusammenhang mit bedingter Wahrscheinlichkeit (3)
Es sei (Ω,A,𝑃 ) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
- Zwei Ereignisse 𝐴, B ∈ A heißen (stochastisch) unabhängig wenn gilt
P(𝐴 ∩ B) = P(𝐴) P(B). - Eine Familie von Ereignissen (𝐴𝑖)𝑖∈𝐼 heißt (stochastisch) unabhängig, wenn für alle endlichen 𝐽 ⊂ 𝐼 gilt
𝑃(∩𝑖∈𝐽 𝐴𝑖) = π𝑖∈𝐽 𝑃(𝐴𝑖).
Gilt die Aussage nur für alle Mengen 𝐽 ⊂ 𝐼 mit |𝐽| = 2, dann nennen wir die Familie paarweise unabhängig. - (bedingte W) A, B unabhängig, dann ist P(A|B) = P(A). Das heißt, bei unabhängigen Ereignissen liefert die Kenntnis des einen Ereignisses keine Informationen über das andere Ereignis.
(D) Zufallsvariable
(Ω, A, P) W-Raum, (Ω′, A′) messbarer Raum.
Eine Abbildung X : Ω → Ω′ heißt Zufallsvariable, wenn sie messbar bezüglich A-A′ ist, d.h. es gilt X−1(A′) ∈ A, ∀A′ ∈ A′.
(D) Verteilung einer Zufallsvariablen
(Ω, A, P) W-Raum, (Ω′, A′) messbarer Raum, X : Ω → Ω′ Zufallsvariable. Die Verteilung der Zufallsvariable X ist das Wahrscheinlichkeitsmaß P_X auf (Ω′, A′) definiert durch
P_X (𝐴) = P(X−1(𝐴)), ∀𝐴 ∈ A′.
(D) Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen
(Ω, A, P) W-Raum, (Ω′, A′) messbarer Raum mit A′ = A1 ⊗ … ⊗ A𝑛, X1, …, Xn Ω′-wertige Zufallsvariablen.
Die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X1, …, Xn ist definiert durch das Wahrscheinlichkeitsmaß P_(X1, …, Xn) auf (Ω′, A′) mit
P_(X1, …, Xn) (A1 × ··· × An) = P(X1 ∈ A1, …, Xn ∈ An),
∀ A1 ∈ A1, …, An ∈ An.
(D) Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Zufallsvariablen X1, …, Xn heißen (stochastisch) unabhängig, wenn alle Ereignisse {Xi ∈ Ai}, Ai ∈ Ai, i∈1,…,n die folgende Produktform haben:
P(X1 ∈ A1, …, Xn ∈ An) = P(X1 ∈ A1) … P(Xn ∈ An).
(S) einfache Bayes-Formel
(Ω, A, P) W-Raum, 𝐴, 𝐵 ∈ A mit P(𝐴), P(𝐵) > 0. Dann ist die einfache Bayes-Formel gegeben durch:
P(𝐵 |𝐴) = P(𝐵 ∩ 𝐴) / P(𝐴) = ( P(𝐴 ∩ 𝐵) / P(𝐵) ) * ( P(𝐵) / P(𝐴) ) = ( P(𝐴 | 𝐵) P(B) ) / P(𝐴).
(S) Satz von Bayes
(𝐵𝑖 )𝑖 ∈N disjunkte Zerlegung von Ω, 𝐴 ∈ A mit P(𝐴) > 0. Dann gilt
P(𝐵𝑖 |𝐴) = ( P(𝐵𝑖) P(𝐴|𝐵𝑖) ) / ( ∑𝑗∈N P(𝐵𝑗) P(𝐴|𝐵𝑗) ).
Dabei setzen wir hier P(𝐴 | 𝐵𝑗) = 0, falls P(𝐵𝑗) = 0.
(A) gemeinsamen Verteilung → Randverteilung, Randverteilungen → gemeinsame Verteilung (2)
- Aus der gemeinsamen Verteilung der Zufallsvariablen kann man stets die Randverteilungen
bestimmen. So gilt z.B. für𝐴𝑖 ∈A𝑖,𝑖=1,…,𝑛
P𝑋𝑖(𝐴𝑖) = P(𝑋1,…,𝑋𝑛)(Ω1 × … × Ω𝑖−1 × 𝐴𝑖 × Ω𝑖+1 × … × Ω𝑛).
- Umgekehrt ist die gemeinsame Verteilung im Allgemeinen nur dann eindeutig durch die Rand- verteilungen bestimmt, wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind.
(S) Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
(Ω, A, P) W-Raum, (𝐵𝑖)𝑖∈N eine disjunkte Zerlegung von Ω. Dann gilt für alle 𝐴 ∈ A
P(A) = ∑ P(A |Bi) P(Bi).
(D) 𝜎-Algebra über Ω
Eine Teilmenge A ⊂ P(Ω) der Potenzmenge von Ω heißt 𝜎-Algebra über Ω, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind
(i) Ω∈A,
(ii) 𝐴 ∈ A ⇒ 𝐴c ∈ A,
(iii) 𝐴1,𝐴2,…∈A ⇒ ∪∞ 𝐴𝑖 ∈A.
(D) messbarer Raum, messbare Teilmengen (2)
- Ein messbarer Raum ist ein Paar (Ω, A) aus einer nichtleeren Menge Ω und einer 𝜎-Algebra A über Ω.
- Die Mengen 𝐴 ∈ A werden als (A-)messbare Teilmengen von Ω bezeichnet.
