4 Wahrscheinlichkeitsmaße auf R

Question 1

(D) Verteilungsfunktion (2)

Answer 1

1. Q Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R, B). Dann ist die Verteilungsfunktion F von Q definiert durch

F : R → [0, 1],
F(x) := Q((-∞,x]) (x∈R).

2. X Zufallsvariable auf (Ω, A, P). Dann ist die Verteilungsfunktion F_X des Bildmaßes P_X von X definiert durch

F_X(x) := P_X((−∞,x]) = P(X≤x) (x∈R).

Question 2

(D) stetige Gleichverteilung

Answer 2

Parameter: a,b
Träger: [a,b]
Dichte: f(x) = 1 / (b-a) * 1_[a,b](x)
Verteilungsfunktion: F(x) = (x-a)/(b-a) für a ≤ x ≤ b; 0 für x kleiner a und 1 für x größer b)
Erwartungswert: (a+b) / 2
Varianz: (b-a)^2 / 12

Question 3

(D) stetige Zufallsvariable, Dichte

Answer 3

Eine Zufallsvariable 𝑋 : Ω → R heißt (absolut) stetig, wenn eine Funktion 𝑓 : R → [0, ∞), genannt Dichte von 𝑋, existiert mit
∫𝑓 (𝑥) d𝑥 = 1 und 𝐹 (𝑏) = P(𝑋 ≤ 𝑏) = ∫-∞^b𝑓 (𝑥) d𝑥, für alle 𝑏 ∈ R.

Question 4

(D) Normalverteilung

Answer 4

Parameter: 𝜇, 𝜎
Träger: R
Dichte: 1/𝜎√2π * e^-1/2*((x - 𝜇)/𝜎)^2
Erwartungswert: 𝜇
Varianz: 𝜎^2

Question 5

(D) Exponentialverteilung

Answer 5

Parameter: 𝜆 ∈ R+
Träger: R+0
Dichte: 𝑓 (𝑥) = 1_[0,∞) (𝑥)𝜆𝑒−𝜆𝑥.
Verteilungsfunktion:  F(x) = 1 − 𝑒^−𝜆x (x > 0), sonst 0
Erwartungswert: 1/𝜆
Varianz: 1/𝜆^2

Question 6

(D) multivariate Dichten

Answer 6

𝑋 = (𝑋1, …, 𝑋n) R𝑛-wertiger Zufallsvektor, 𝑓 : R𝑛 → R nichtnegative integrierbare Funktion mit
∫ ··· ∫_R^n 𝑓(𝑎1, …, 𝑎𝑛) d𝑎1 … d𝑎𝑛 = 1. Gilt für alle𝐴 = 𝐴1 × ··· ×𝐴𝑛, 𝐴𝑖 ∈ B(R), 𝑖 = 1, …, 𝑛

P(𝑋 ∈ 𝐴) = P(𝑋1 ∈ 𝐴1, …, 𝑋𝑛 ∈𝐴𝑛) = ∫A1 ··· ∫An 𝑓(𝑎1, …, 𝑎𝑛) d𝑎1 … d𝑎𝑛

dann nennt man 𝑓 die gemeinsame Dichte von 𝑋.
Für 𝑖 = 1, …, 𝑛 und 𝐴𝑖 ∈ B ist durch

P(𝑋𝑖 ∈ 𝐴𝑖) = P(𝑋1 ∈ R, …, 𝑋𝑖−1 ∈ R,𝑋𝑖 ∈ 𝐴𝑖, 𝑋𝑖+1 ∈ R,…,𝑋𝑛 ∈ R) = ∫R ··· ∫R ∫Ai ∫R ··· ∫R 𝑓(𝑎1, …, 𝑎𝑛) d𝑎1 … d𝑎𝑛

die Randverteilung von 𝑋𝑖 gegeben.