3 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Question 1

(D) diskretes W-Maß, diskreter W-Raum

Answer 1

(Ω, A, P) W-Raum.

Das Wahrscheinlichkeitsmaß P heißt diskret, wenn es eine abzählbare Menge Ω0 ∈ A mit {𝜔} ∈ A für alle 𝜔 ∈ Ω0 mit P(Ω0) = 1 gibt.

In diesem Fall sagen wir, dass der W-Raum diskret ist und wir sagen, dass Ω0 ein (diskreter) Träger von P ist.

Question 2

(D) Bernoulli-Verteilung

Answer 2

Münzwurf

Parameter: p
Träger {0,1}
Zähldichte: f(k) = p, für k=1; 1-p für k=0
Erwartungswert: p
Varianz: p(1 - p)

Question 3

(D) Binomialverteilung

Answer 3

W für k Erfolge bei n-fachem Bernoulli-Experiment.

Träger: {0, 1, …, n}
Zähldichte: f(k) = (n k) p^k (1 - p)^(n-k)
Erwartungswert: np
Varianz: np(1 - p)

Question 4

(D) Zähldichte eines W-Maßes

Answer 4

(Ω, A, P) W-Raum mit Ω abzählbar, A = P(Ω).

Dann heißt die Funktion 𝑓 : Ω → [0, 1] mit 𝑓 (𝜔) = P({𝜔}) die Zähldichte von P.

Question 5

(D) Laplace-Experiment, zugehörige Verteilung, Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum, Beispiele

Answer 5

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit endlich-vielen Ereignissen, indem alle Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Die Verteilung ist die diskrete Gleichverteilung.

Ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum ist ein W-Raum (Ω, A, P) bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Es gilt Ω endlich, A = P(Ω) und P({𝜔}) = 1 / |Ω| für alle 𝜔∈Ω und P(A) = |A| / |Ω|.

Beispiele: fairer Münzwurf, faires Würfeln

Question 6

(D) diskrete Gleichverteilung

Answer 6

Träger: {k1, …, kn}
Zähldichte: f(ki) = 1 / n
Verteilungsfunktion: P(X ≤ x) = |{i : ki ≤ x}| / n
Erwartungswert: 1/n ∑ ki

Question 7

(D) Zufallsvariable heißt Poisson-verteilt, Poisson-Verteilung

Answer 7

Eine N0-wertige Zufallsvariable 𝑋 ist Poisson-verteilt mit Parameter 𝜆 > 0 (𝑋 ∼ Poi𝜆), wenn gilt

Zähldichte: P(X=k) = e^(-𝜆) * 𝜆^k / k!.

–

Parameter: 𝜆
Träger: |N0
Erwartungswert: 𝜆
Varianz: 𝜆

Häufigkeit eines Ereignisses während einer bestimmten Zeit (z.B. Ausschläge eines Geigerzählers in einer Minute).

Question 8

(A) Binomialkoeffizient (intuitive/technische Definition, Werte)

Answer 8

1. intuitive Definition
   Der BK gibt an, wieviele Möglichkeiten man hat (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge), k Objekte aus n verschiedenen Objekten auszuwählen.
2. technische Definition
   nCk = (n•(n-1)•…•(n-k+1)) / k!
3. Werte
   nCn = 1, nC1 = n, nC0 = 1, nCk = n (k=n-1), nCk = Error (k>n)

Question 9

(D) Geometrische Verteilung, Variante

Answer 9

𝑋1, 𝑋2, … Folge iid ZV mit 𝑋𝑖 ∼ Ber𝑝 , 𝑝∈(0, 1).

Sei 𝑍 die Wartezeit bis zum ersten Erfolg/Eins.
Formal: 𝑍 := inf{𝑛 ∈ N : 𝑋𝑛 = 1}

Parameter: p
Träger: N
Zähldichte: P(𝑍=𝑘) = P(𝑋1=𝑋2=…=𝑋𝑘−1=0,𝑋𝑘 =1) = p(1-p)^k-1, k∈N
Erwartungswert: 1/p

geometrische Verteilung = Wartezeit, bis zum ersten Erfolg;

Variante: Man kann die Zähldichte auch durch p(1-p)^k definieren. Dann sind k die Misserfolge bis zum ersten Erfolg: P(Z = 2) ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Misserfolge zu haben, bis der erste Erfolg eintritt.

Question 10

(S) Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung

Answer 10

𝑍 diskrete Zufallsvariable. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(i) 𝑍 ist geometrisch verteilt;

(ii) Die Verteilung von 𝑍 ist eine gedächtnislose Verteilung auf N, d.h. es gilt
P(𝑍>𝑘+𝑚|𝑍>𝑚) = P(𝑍>𝑘), 𝑘,𝑚∈N.

Beispiel: Warten auf eine 6 beim fairen Würfeln.